Salut.

Tu as la def a portee de main, pour "definie positive"?

Bon. On demontre les implications dans les deux sens.

Sens direct: j'ecris la def. je choisis des "bons vecteurs". Ca tombe.

Sens reciproque: je fais apparaitre des identites remarquables...

En avant...
A+
biondo

pour le sens direct : si je prends X= Id j'obtiens A strictement supèrieur à 0 mais parès je ne vois pas comment en déduire les inégalités voulues.

por le sens indirect : j'ai ab-c^2= ((ab)^0.5-c)((ab)^0.5+c) mais je ne vois pas où ça peut me mener.

Comment tu peux prendre X=id? X est un vecteur colonne, non?

oui exact

pour le sens direct il faut en fait que je choisisse un bon vecteur colonne pour que tXAX soit édgale à une matrice à un seul élément  qui vaut ab-c^2 c'est ca ?

je crois que j'ai trouvé pour le sens direct
je prends X= (c
              -a)

qu'est ce que vous en pensez ?

A condition que tu aies deja montre que a>0, ca doit marcher, effectivement.

Pour la reciproque, je pensais a des identites remarquables (enfin, presque, fau tpas exagerer non plus... pense a la methode de mise sous forme canonique des expressions du second degre) sur l'expression de tXAX, pas sur ab-c^2...


biondo

je ne comprends pas du tout comment je peux mettre tXAX sous "la forme d'identité remarquables"

bon une autre méthode : que sais -tu du déterminant d'une forme quadratique ?

Bon.

en dimension 2:
X = (x)
     (y)


Donc tXAX = ... (un peu de calculs...) = ax^2 + by^2 + 2cxy

C'est quand meme pas complique.

Et donc pour la reciproque, comme a>0 je le factorise et je fais apparaitre des "identites remarquables":

tXAX = a.(x+c/a.y)^2 + b.y^2 - c^2/a.y^2
     = a.(x+c/a.y)^2 + 1/a.(ab-c^2).y^2

Tu devrais voir que ce machin est strictement positif si x et y sont non nuls.

Donc la matrice est definie positive.


Sinon, des resultats sur les sous-determinants de formes quadratiques (ils sont positifs), comme suggere par lolo217, permettent de conclure. mais je ne me souviens plus comment on les etablit...


biondo