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Médiane d'un triangle à partir de coordonées

Posté par
Polynomes
06-04-07 à 10:14

Salut à tous, je bloque sur un exercice dont voila l'énoncé :

On considère les points A(-1;3) B(5;1) et C(-3;7)

Déterminer une équation cartésienne de chacune des médianes du triangle ABC.

Vérifier ques ces trois droite sont concourantes en G, isobarycentre de A, B et C.

Voila je n'ai absolument aucune idée de comment trouver les équations cartésiennes, vous pouvez m'aider svp ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 10:32

La médiane issue de A passe par A et par le point milieu de [BC] qui a pour coordonnées (1 ; 4)

Cette médiane passe donc par les points (-1 ; 3) et (1 ; 4)
Recherche de son équation:
y = ax+b

passe par (-1 ; 3) --> 3 = -a + b
passe par (1 ; 4) --> 4 = a + b

Système qui résolu donne: b = 7/2 et a = 1/2

Equation de la médiane issue de A: y = (1/2)x + (7/2)

soit: 2y = x + 7

x - 2y + 7 = 0 (C'est l'équation cartésienne de la médiane issue de A du triangle ABC.

Essaie de faire pareil pour les 2 autres médianes...
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Polynomes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 10:37

Merci beaucoup

Posté par
Polynomes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 10:40

Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire par :

passe par (-1 ; 3) --> 3 = -a + b
passe par (1 ; 4) --> 4 = a + b

Système qui résolu donne: b = 7/2 et a = 1/2

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 10:49

L'équation d'une droite (sauf si elle est // à l'axe des y) peut être écrite sous la forme y = ax + b
a et b sont des valeurs à déterminer.

Si la droite passe par le point de coordonnées (-1 ; 3), on a une relation liant a et b en remplaçant x par -1 et y par 3 dans y = ax + b

--> Il vient : 3 = -a + b
-----
Comme la droite passe aussi par le point de coordonnées (1 ; 4), on a une seconde relation liant a et b en remplaçant x par 1 et y par 4 dans y = ax + b

--> il vient 4 = a + b
-----
On regroupe ces 2 relations et on a le système:

3 = -a + b
4 = a + b

Ce système résolu a pour solution: b = 7/2 et a = 1/2

Et donc l'éqution y = ax + b devient : y = (1/2)x + (7/2) C'est une équation de la médiane issue de A.

On transforme cette équation pour la mettre sous la forme : x - 2y + 7 = 0

Et cette forme d'écriture est l'équation cartésienne de la médiane issue de A.
-----

Posté par
Polynomes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 10:55

Maintenant j'ai compris merci beaucoup de ton aide Je vais calculer les autres médianes maintenant

Posté par
Polynomes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 11:07

²Pour la médiane issue de B je trouve -x-2y+3=0 Ca a l'air bon lorsque je la trace mais pour celle issue de C je trouve 9x-2y-3=0 mais ca ne passe pas par les bon points :s Tu ne sait pas où j'ai peu me tromper?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 11:53

La médiane issue de C passe par C et par le point milieu de [AB] qui a pour coordonnées (2 ; 2)

Cette médiane passe donc par les points (-3 ; 7) et (2 ; 2)
Recherche de son équation:
y = ax+b

passe par (-3 ; 7) --> 7 = -3a + b
passe par (2 ; 2) --> 2 = 2a + b

Système qui résolu donne: b = 4 et a = -1

Equation de la médiane issue de A: y = -x + 4

x + y - 4 = 0 (C'est l'équation cartésienne de la médiane issue de C du triangle ABC.)
-----

L'équation que tu as trouvée pour la médiane issue de B n'est pas juste:

Après calcul, je trouve : 4x+7y-27 = 0

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 11:54

Lire ci dessus:

...
Equation de la médiane issue de C: y = -x + 4
...

Posté par
Polynomes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 06-04-07 à 15:54

D'accord merci beaucoup de ton aide

Posté par
737charles
re 01-05-08 à 13:04

Comment fait-on pour cette question: Vérifier ques ces trois droite sont concourantes en G, isobarycentre de A, B et C.?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 01-05-08 à 13:52

Bonjour, trouve le point d'intersection G de deux d'entre elles en résolvant un système.

Vérifie ensuite que le point d'intersection trouvé appartient à la troisième médiane en remplaçant x et y par les coordonnées de G dans l'équation de cette troisième médiane.

Enfin, utilise ton cours pour donner les coordonnées de l'isobarycentre G' de A,B,C, et vérifie qu'on tombe sur les coordonnées du point G, donc que G'=G.

Posté par
737charles
re 01-05-08 à 15:55

je crois que l'équation de C est fausse , je trouve -5x-5y=-20 soit -5x-5y+20=0

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 01-05-08 à 16:05

Ca, je n'ai pas vérifié!

Je t'ai donné une méthode, par contre!

Posté par
737charles
OUI 01-05-08 à 16:11

Donc c'est mon equation est bonne je devrais trouver G.

Posté par
737charles
re 01-05-08 à 19:37

j'ai vraiment besoin d'aide .

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 02-05-08 à 09:25

L'équation -5x-5y+20=0 peut être simplifiée en: x+y-4 = 0
-----

x+y-4 = 0 (équation de la médiane issue de C)
4x+7y-27 = 0 (équation de la médiane issue de B)

Ce système résolu donne:
x = 1/3
y = 11/3

Les médianes issues de C et de B se coupent au point G(1/3 ; 11/3)   (1)
---
La médiane issue de A passe par A(-1;3) et le point milieu de [BC] de coordonnées (1 ; 4)

Equation de cette médiane:
y = (1/2)x + (7/2)

soit x - 2y + 7 = 0
---
Vérifions si les coordonnées de G vérifient l'équation de la médiane issue de A du triangle ABC :

1/3 - 2*11/3 + 7 =? 0
1/3 - 22/3 + 21/3 =? 0
-21/3 + 21/3 =? 0
--> OK.

Le point G appartient donc aussi à la médiane issue de A du triangle AB.   (2)
-----
(1) et (2) -->

Les 3 médianes du triangle ABC sont concourantes au point G(1/3 ; 11/3) 
-----
Sauf distraction.  

Posté par
737charles
re 02-05-08 à 13:22

Merci J-P c'est ce que j'ai trouvé , mais tu l'as confirmé.

Posté par
xSekaii
re : Médiane d'un triangle à partir de coordonées 13-02-14 à 20:14

Je comprends pas ta facon avec : je passe -->
tu ne mets pas les etapes c est pas clair pour moi j ai un dm a rendre demain avec ce type d exo je xomprends rien du tout a la facon de faire ... me rep vite

moi c est  les pts A (1; 3) B (6; 4) C (-1;-1) j ai le milieu de [BC] : (2.5; 1.5) et celui de [CA] : (0; 1)
Mes consignes : en deduire des equations cartesiennes des medianes issues de A et de B du teiangle abc
et : calculer les coordonnees du centre de gravite G du triangle abc
help me !!!!!



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