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meme le meilleur de ma classe n y arrive pas..........

Posté par tinmmar (invité) 23-12-04 à 20:43

montrer(EN REPRENANT LA DEFINITION DES LIMITES) que la fonction logarithme et la fonction exponentielle admettent une limite en tout point de leur ensemble de définition (cad qu elles sont continues)
aidez moi svp!:?

Posté par DivXworld (invité)re : meme le meilleur de ma classe n y arrive pas.......... 23-12-04 à 20:55

montre qu'elles sont dérivables en tout point de leur ensemble de définition

Posté par
Nightmarere : meme le meilleur de ma classe n y arrive pas.......... 23-12-04 à 21:00

Bonjour

Je te fais le logarithme et ca va te paraitre évident pour l'exponentielle

Pour démontrer leur continuité , on peut démontrer leur dérivabilité .

ln est dérivable en tout point a de ]0;+\infty[ si et seulement si la limite de \frac{ln(a+h)-ln(a)}{h} lorsque h tend vers 0 est réelle .

\begin{tabular}\frac{ln(a+h)-ln(a)}{h}&=&\frac{ln\(\frac{a+h}{a}\)}{h}&=&\frac{ln\(1+\frac{h}{a}\)}{h}\end{tabular}

Ici tout se terminerait avec un développement limité en disant que en 0 ln(1+h)\sim h+o(h^{2})

donc :
\lim_{h\to 0} \frac{ln\(1+\frac{h}{a}\)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\frac{h}{a}}{h}=\frac{1}{a}

Sans dl :
\begin{tabular}\frac{ln\(1+\frac{h}{a}\)}{h}&=&\frac{1}{a}\times\frac{ln\(1+\frac{h}{a}\)}{\frac{h}{a}}\\&=&\frac{1}{a}\times\frac{ln(1+X)}{X}\end{tabular}

or , \lim_{x\to 0} \frac{ln(1+X)}{X}=1
donc :
\lim_{h\to 0} \frac{1}{a}\times\frac{ln\(1+\frac{h}{a}\)}{\frac{h}{a}}=\frac{1}{a}

qui est bien réelle . ln est dérivable donc continue en tout point de son ensemble de définition


jord

Posté par tinmmar (invité)oui merci beaucoup mais... 23-12-04 à 21:15

j'y ai pensé mais c est avec la définition des limites cad:
je pense qu il faut prouver
-soient x[/sub]0>0 et epsilonn<0
trouver alpha>0 tel que
pour quelque soit x appartenant a R+* intersection[x0-alpha; x0+alpha]valeure absolue de (lnx-lnx[sub]0)<ou= à alpha

merci bcp

Posté par
Nightmarere : meme le meilleur de ma classe n y arrive pas.......... 23-12-04 à 21:19

Re

pour l'exponentielle :

\begin{tabular}\frac{\exp(a+h)-\exp(a)}{h}&=&\frac{\exp(a).\exp(h)-\exp(a)}{h}\\&=&\frac{\exp(a)(\exp(h)-1)}{h}\\&=&\exp(a)\times\frac{\exp(h)-1}{h}\end{tabular}

Pareil avec un développement limité au voisinage de 0 :
\exp(h)\sim 1+h+o(x)

Ou en utilisant la formule de croissance comparé :
lim_{X\to 0} \frac{e^{X}-1}{X}=1

on trouve :
\lim_{h\to 0} \exp(a)\times\frac{\exp(h)-1}{h}=\exp(a)


Jord

Posté par
Nightmarere : meme le meilleur de ma classe n y arrive pas.......... 23-12-04 à 21:20

Re

Tu peux faire comme ça effectivement mais c'est beaucoup plus long , et puis ma démonstration utilise aussi les théorémes relatifs aux limites


Jord

Posté par DivXworld (invité)re : meme le meilleur de ma classe n y arrive pas.......... 23-12-04 à 21:24

c'est du programme de maths sup ca

on ne demande pas au terminale de faire cela (ou alors le programme a beaucoup changé depuis l'année dernière)

la solution de nightmare est la bonne

Posté par
Nightmarere : meme le meilleur de ma classe n y arrive pas.......... 23-12-04 à 21:27

Oui enfin , en outre-passant les développements limité qui ne sont je ne crois pas au programme de terminal


Jord

Posté par
ma_corRe meme le meilleur de ma classe... 24-12-04 à 07:55

Une autre piste est de connaître la façon dont a été introduite la définition de ln x.
En effet, si ln x = (1/t)dt sur l'intervalle [0 x], x>0, alors par la théorie des intégrales de fonctions continues, sur un segment fermé, elles sont des fonctions continues (1/x est une fonction de base, continue dans son domaine et à fortiori sur R+\{0}).

Posté par
ma_corRe meme le meilleur de ma classe... 24-12-04 à 08:00

En ce qui concerne l'exponentielle, si tu as vu la théorie des fonctions réciproques, la continuité de exp(x) ne fait pas de doute car c'est la réciproque de la fonction ln x strictement croissante et continue de R+\{0} dans R.  Un excellent livre pour tout ce sujet est "Analyse" de Swokowski aux éditions De Boeck Université.


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