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Niveau quatrième
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Méthode d'addition

Posté par
J-D
07-08-07 à 14:42

Bonjour à tous,

Voilà je me demandais si il existait une autre méthode pour résoudre les équations à 2 inconnues à par la méthode substitution (je n'ai appris que celle là).Donc après une recherche sur le site, et un coup d'oeil sur les fiches de maths, j'ai trouvé la méthode par addition.
J'ai essayé de suivre les indications données((Lien cassé))mais je n'ai pas bien compris.Quelau'un pourrait-il m'expliquer comment procéder avec cette méthode?

Merci d'avance.

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:46

Salut

Imagine qu'on est ce système : 3$ \rm \{x+2y=3\\y+3x=4

Si on multiplie la deuxième équation par 2 on a : 3$ \rm \{x+2y=3\\2y+6x=8

Ensuite on soustrait les deux lignes :

3$ \rm (x+2y)-(2y+6x)=3-8\Leftright -5x=-5\Leftright x=1

Puis on reporte cette valeur dans l'une des deux équations au choix :

3$ \rm 1+2y=3\Leftright y=1

Ok ?

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:47

Ou méthode par combinaison

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:49

Je te donnerais la méthode générale ensuite si ça t'intéresse

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:50

Salut Kévin,

Merci.J'ai compris.

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:51

Qu'est-ce que tu entends par la méthode générale?

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:51

C'est même pas drôle si tu comprends tout de suite

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:52

bon en tout cas merci pour le début!

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:52

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:56

Ok let's go

La méthode générale :

Si tu as un système 3$ \rm \{ax+by=c\\a'x+b'y=c'

Alors en multipliant la première ligne par b' et la deuxième par b on a :

3$ \rm \{ab'x+bb'y=cb'\\a'bx+bb'y=c'b

Puis en soustrayant la deuxième ligne à la première on obtient :

3$ \rm (ab'x+bb'y)-(a'bx+bb'y)=cb'-c'b\Leftright ab'x-a'bx=cb'-c'b\Leftright x(ab'-a'b)=cb'-c'b\Leftright \fbox{x=\frac{cb'-c'b}{ab'-a'b}

On fait pareil pour y et on voit que le système a une unique solution si et seulement si 3$ \rm ab'-a'b\neq 0 (on ne peut pas diviser par 0)

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 14:57

Si tu as compris ça je te donne un exercice à faire

Sinon n'hésite pas à poser des questions

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:00

Attends, je ne suis plus à partir de$2 =cb'-c'b

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:01

A partir d'où ?

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:01

3$=cb'-c'b

Pardon


Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:02

De la 2°me étape

Kévin

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:03

Ok alors tu vois que dans chacune des parenthèses tu as le terme bb'y ? Comme on les soustrait alors ce terme "disparaît"

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:07

Oui je suis prête our l'exercice Monsieur

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:09

Oui j'ai vu que ça disparaît.

Merci

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:11

Ok chère élève, voici la bête :

3$ \rm \{3x+2y=12\\x+y=5

A toi de jouer

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:13

Ok je commence à chercher.

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:13

Merci BIEN SURE

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:15

Fais gaffe à la moindre faute je te redonne un système

Je préfère amplement cette méthode à la substitution, une fois qu'on a l'habitude ça va bien plus vite

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:29

Enfin ne te rend pas malade si tu fais une faute hein ! (tromatisée par mes exos ), surtout qu'on voit les systèmes en troisième donc bon

Un coup d'main ou ça ira ?

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:32

J'ai réussi à dompter la bête:

\left{3x+2x=12 \\ x+y=5

\left{3x+2y=12 \\ 2x+2y=10

\Longleftright

(3x+2y)-(2x+2y)= 12-10 \Longleftright x=2

x+y=5 \\ y=5-x \\ x=5-2=3

4$ \fbox{Donc \\ x=2 \\ y=3}

Merci

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:32

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:33

Chapeau ! Tu vas plus avoir besoin de moi

Another one ?

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:34

Ca mérite pas un A+ ça monsieur?

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:34

Ok.
MERCI

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:35

Pour pinailler, entre le système et la soustraction des deux lignes on mettra plutôt \Longright que \Longleftright

C'est vraiment pour dire d'apporter mon grain de sel

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:38

Pourquoi\Longrightarrowet pas\Longleftrightarrow?

Bon on dit A- alors

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:39

Premier exercice : un A+ pour la demoiselle

Voyons voir si tu réussis la deuxième épreuve

3$ \rm \{2x+10y=13\\\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}y=4

A ton crayon

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:40

J'y vais

Merci Monsieur le Professeur!!

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:45

On dit que c'est une implication, je m'explique :

Si 3$ \rm A=B et 3$ \rm C=D alors on a bien 3$ \rm A-C=B-D, le "alors" est une implication , c'est à dire que les deux égalités entrainent la dernière.

Mais la réciproque n'est pas vraie, en effet si 3$ \rm A-C=B-D alors ça ne veut pas forcément dire que 3$ \rm A=B et C=D, le sens de gauche à droite 3$ \rm \Longleft ne fonctionne pas.

Donc on a seulement 3$ \rm \Longright.

Quand on a à la fois 3$ \rm \Longright et \Longleft on le note 3$ \rm \Longleftright et on dit que c'est une équivalence.

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:45

Avec plaisir Kévin... euh Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:47

J'ai un petit problème
Je recherche.

Jade

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:49

Oui j'ai choisi une vilaine bête

Relis bien la méthode générale

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:54

Et une vilaine faute aussi

Citation :

Imagine qu'on est ce système


J'ai jamais essayé d'être dans la peau d'un système

Bref ^^

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:56

Citation :
On fait pareil pour y et on voit que le système a une unique solution si 6$ab'-a'b\neq0et seulement si  (on ne peut pas diviser par 0)


Donc comme:

15x+75y-(15x-75y)=0

C'est impossible!!!

Tu m'as bien eut!!!

A charge de revanche Monsieur.

Jade

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 15:57

Enfin je veux dire Kévin

Kévin

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:13

Arf mon piège a échoué

Mais alors impossible ça veut dire quoi ?

Désolé de m'être absenté !

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:19

C'est pas grave

Impssible..Impossible

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:20

Je dois y aller.Je m'absente.

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:20

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:23

Ok bon fin d'après-midi

Je t'écris un petit topo quand la différence fait 0 et je préciserai le "impossible".

Posté par
fakir151
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:32

Salut Kevin et salut Jade,

Excuse moi Jade mai tu es en 4eme ou en 3eme car si tu es en 4eme, c'est tres bien

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:34

Alors reprenons notre sympathique système :

3$ \rm \{2x+10y=13\\\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}y=4

Multiplions par 3 la première ligne et par 4 la seconde, on obtient :

3$ \rm \{6x+30y=39\\6x+30y=16

Et ainsi on aurait 3$ \rm 39=16 ce qui est comme tu le dis "Impossible", donc dans ce cas l'équation n'a pas de solution.

Maintenant considérons le système 3$ \rm \{2x+10y=13\\\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}y=\frac{39}{4}

Si on multiplie de nouveau la première ligne par 3 et la deuxième par 4 on obtient :

3$ \rm 6x+30y=39\\6x+30y=39

Donc ça revient à résoudre 3$ \rm 6x+30y=39, et là en revanche on a une infinité de solutions situées sur la droite d'équation 3$ \rm y=\frac{39-6x}{30}=-\frac{1}{5}x+\frac{13}{10}

Donc comme tu peux le voir quand la différence ab'-a'b=0 on a soit aucune solution soit une infinité, et ce dernier cas correspond à deux équations qui sont proportionnelles dans le système.

Bon là si tu suis pas tout c'est pas grave, car c'est déjà bien poussé pour du niveau troisième

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 17:35

Salut fakir

Elle est en quatrième et passe en troisième, et comme tu dis c'est très bien

Posté par
sarriette Correcteur
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 20:28

bonsoir ,

infophile>>> elle est en quatrième et passe en troisième ...

... et tu lui fais un cours de seconde

Posté par
infophile
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 21:08

Bonsoir sarriette

J'avoue que j'y vais un peu fort

Posté par
J-D
re : Méthode d'addition 07-08-07 à 21:26

Salut à tous les deux!!(Enfin re pour toi Kévin)

Excusez-moi de m'être absenter.

Je vais lire ce que tu m'as écrit Kévin.

Sariette> J'espère que je vais comprendre ce qu' Kévin m'a expliqué mais je pense qu'il n'y aurait pas de problème vu que monsieur le professeur explique très bien.

Bon je lis.

Jade

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