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Methode d'Euler pour la résolution d'équa diffs

Posté par
Cyril87
11-02-12 à 09:42

Bonjour à tous,

j'ai besoin de la Méthode d'Euler pour une démonstration dans le cadre d'une leçon sur la construction de la fonction exponentielle, donc j'ai fait quelques recherches dessus. Cependant, à chaque fois, je n'ai pas trouvé d'explications ou alors pas très claires.

Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer cette méthode ?

Merci d'avance !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Methode d'Euler pour la résolution d'équa diffs 11-02-12 à 22:48

Bonjour,

Je suppose que:

on cherche une fonction f vérifiant f'=f avec f(0)=1 par exemple sur l' intervalle [0,1]

La méthode d' Euler consiste à approximer cette fonction par une suite de segments d' extrémités M_k(x_k,y_k)

On découpe l' intervalle de départ [0,1] avec un "pas" h:

x_0=0 et x_{n+1}=x_n+h

La suite (x_n) est une suite arithmétique de raison h et x_n=nh

Par exemple avec h=0.1, on a:

x_0=0
x_1=0.1
x_2=0.2
\qquad \vdots \qquad \vdots

x_9=0.9
x_{10}=1

On cherche les y_n coorrespondant aux x_n en approximant la fonction par sa tangente au point précédemment calculé:

y_{n+1}f(x_{n+1})=f(x_n+h)

y_{n+1}\approx f(x_n)+hf'(x_n) (en utilisant l' approximation affine d' une fonction)

y_{n+1}\approxf(x_n)+hf(x_n) (puisque f'=f)

y_{n+1}\approx (1+h)f(x_n)

y_{n+1}\apprtox(1+h)y_n

Avec h=0.1, on obtient les valeurs suivantes:



Posté par
cailloux Correcteur
re : Methode d'Euler pour la résolution d'équa diffs 12-02-12 à 17:54

Je suis loin de chez moi et connecté en 3G: pas fameux; j' ai un mal de chien à poster.

Donc un essai pour le tableau de valeurs avec h=0.1 et y_{n+1}=1.1\,y_n:

x_n00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
y_n11.11.211.331.461.1.611.771.952.142.362.59


En rouge, la fonction exponentielle "exacte"

En bleu, la fonction construite par approximations successives de la méthode d' Euler:

Methode d\'Euler pour la résolution d\'équa diffs



Posté par
Cyril87
re : Methode d'Euler pour la résolution d'équa diffs 17-02-12 à 20:45

Merci beaucoup, c'est génial d'avoir des réponses aussi détaillées

Posté par
cailloux Correcteur
re : Methode d'Euler pour la résolution d'équa diffs 18-02-12 à 10:46

De rien Cyril87



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