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Méthode de Cantor
Bonjour à tous,
Je bloques sur cette énigme (donné en "bonus" d'un DM) :
Un ensemble est dit dénombrable s'il peut-être mis en bijection avec l'ensemble des nombres entiers. La question soulevée par Cantor revient à se demander si tout ensemble infini est dénombrable.
Pour illustrer sa méthode, prenons l'exemple suivant: Je pense à un couple de nombre entiers, par exemple 56 et 4. vous avez le droit à une proposition de couple par jour. Existe-t-il une méthode assurant de trouver la bonne réponse rôt ou tard ? Décrivez-la. Si vous la trouvez, vous aurez ainsi montré que l'ensemble des fractions rationnelles est dénombrable, c'est à dire qu'il existe autant de fractions que d'entier naturels.
Je penses qu'il n'existe aucune méthode puisqu'il y a une infinité de couple d'entier possible. Mais l'énoncé semble sous-entendre que la réponse est oui.
Merci de votre aide.
Bonjour
La réponse est bien oui. L'ensemble des fractions rationnelles est bien dénombrable.
Alors voilà une méthode: je tiens compte du fait que le dénominateur ne peut pas être nul.
(0,1)
(0,2) (1,1)
(0,3) (1,2) (2,1)
(0,4) (1,3) (2,2) (3,1)...
Je les écris à somme constante en augmentant la première coordonnée...
Bonjour
Il y a églement une infinité d'enters possibles. Pourtant, si on fait la même chose avec un seul entier, si tu dis 0, puis 1, puis 2, puis 3, etc. tu finiras par tomber sur celui auquel je pense (et s'il faut prendre en compte les entiers négatifs, tu peux dire 0, puis 1, puis -1, puis 2, puis -2, puis 3...
Est-ce que tu peux faire la même chose pour les nombres rationels ? La réponse est oui. Une recherche Google sur "dénombrabilité de Q" donne ce lien avec une illustration 
. En gros, tu peux compter les rationnels de la même façon que tu comptes les entiers.
Bonjour
Peux-tu délimiter l'énoncé de ton problème, et veiller à l'écrire intégralement. Je ne suis pas en effet sûr de la part d'énoncé dans ton dernier post et de son exactitude.
ie : " La question soulevée par Cantor revient à se demander si tout ensemble infini est dénombrable. "
Un ensemble infini n'est pas forcément dénombrable.
Quoi qu'il en soit, sur la méthode proposée:
"vous avez le droit à une proposition de couple par jour" se traduit mathématiquement par une suite de couple (
2), c'est à dire une application définie sur vers 2. Appelons là U. Un = (An, Bn).
"Existe-t-il une méthode assurant de trouver la bonne réponse tôt ou tard ?" : il s'agit en fait de trouver une méthode de choisir le couple (An, Bn) du jour n, de manière à ce que U soit une bijection de vers 2.
Petit indice: chercher une méthode spirale qui vous permet de vous assurer de couvrir 2 sans laisser de trous.
ie : " La question soulevée par Cantor revient à se demander si tout ensemble infini est dénombrable. "
Un ensemble infini n'est pas forcément dénombrable.
Oui mais avant de la savoir, il a fallu se le demander.
Ceci étant dit, moi aussi j'ai été étonnée par l'apparition de Cantor dans ce contexte, vu que ce n'est pas sa méthode à ma connaissance... à moins qu'il n'y ait une question de plus avec ]0,1[...
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