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Méthode de Héron avec calcul d'erreur

Posté par
Otoko 25-10-11 à 22:54

Bonjour, je suis en terminale S j'ai un dm sur les suites à rendre pour la rentrée, et je bloque sur le premier exercice, le voici:

Soit (Un) la suite définie par U0= 2 et Un+1= (Un²+2)/(2Un) pour tout entier n

1. Dresser le tableau de variations de la fonction g définie sur [1;2] par g(x)=(x²+2)/2x

(J'ai trouvé la dérivée qui est de (2x²-4)/2x² , et f est donc strictement croissante sur cet intervalle)

2. prouver que pour tout entier n, V2<Un<2  (les signes sont non-strictes)

(J'ai commencé une récurrence, avec Pn= V2<Un<2 , l'initialisation avec P0 est vrai, mais pour l'hérédité je suis perdue.. à partir de là, je bloque)

3. soit (Vn) la suite définie pour tout entier n par Vn = 2/Un
démontrer que pour tout entier n 1<Vn<V2 (signes non strictes)

4. Calculer u3 et v3

5. On pose pour tout entier n, wn = un - vn
a. justifier que pour tout entier n, wn+1 = wn²/ 4un+1. En déduire que wn+1< wn²/4

b. démontrer par récurrence que pour tout entier n, wn<4(w0/4)^(2n)

c. en déduire un entier n au delà duquel wn< 10^-10


Voilà, merci d'avance pour votre aide..

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 26-10-11 à 01:49

g' : petite erreur au dénominateur

g'(1)=-1
g'(2)=1/4



pour l'encadrement, ton étude de la fonction g montre que l'image de l'intervalle [\sqrt2;2] est inclus dans l'intervalle [\sqrt2;2]

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 26-10-11 à 19:04

Je comprends pas mon erreur pour g'
(u/v)' = (u'v-uv')/v² non?
Donc, g'(x) = [2x*2x-(x²+2)*2] / 2x² = (4x²-2x²-4)/2x²

D'où, g'(1)= -1
et g'(2) =1/4   il n'y a donc aucune erreur de dénominateur..

D'accord, l'encadrement est donc beaucoup plus simple que ce que je pensais..
Pour la question 3, il faut donc prouver la même chose en s'aidant de la 2, c'est ça?

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 26-10-11 à 19:21

g(x)=(x²+2)/2x

d'abord,il manque des parenthèses

g(x)=(x²+2)/(2x)

que j'écris

g(x)=\frac12\frac{x^2+2}x

et que je dérive

g'(x)=\frac12\frac{2x\times x-1\times(x^2+2)}{x^2}

g'(x)=\frac12\frac{x^2-2}{x^2}

tu dis avoir trouvé la dérivée
(2x²-4)/2x²
il manque des parenthèses, donc je suppose que tu voulais dire
(2x²-4)/(2x²)
qu'on peut simplifier en
(x²-2)/(x²)

il te manque un \frac12

ça ne changera rien au signe, mais les pentes seront doubles de ce qu'elles sont.

Ton erreur vient que tu as gardé le dénominateur en 2x (tu as parfaitement le droit de le faire), mais dans la formule de la dérivée, ce dénominateur devient (2x)²
or comme chez toi les parenthèses sont optionnelles (voir mes remarques ci-dessus), tu as écrit 2x² et tu t'es vautré.

C'est tout.

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 26-10-11 à 21:21

D'accord j'ai compris mon erreur, merci beaucoup!
et pour le 3e, ai-je le bon raisonnement?

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 26-10-11 à 22:47

tu penseras peut-être un peu plus souvent à ces satanées parenthèses

Citation :
Pour la question 3, il faut donc prouver la même chose en s'aidant de la 2, c'est ça?


c'est ça, ton raisonnement ? La même chose que quoi ?

allez, oui, tu t'aides de l'encadrement vu dans la question 2) et grâce à la super formule de v_n=\frac{2}{u_n} tu détermines brillamment l'encadrement demandé dans la question 3)

Soit dit en passant, c'est immédiat.

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 27-10-11 à 21:42

Donc, je sais à présent que  V2<U3<2 et 1<V3<V2

-> Je pense que je devrais utiliser Un+1, donc g(x) et mon tableau de variations
Mais comment?

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 27-10-11 à 22:24

je suis effondré

\sqrt2<u_n<2

ces quantités sont toutes strictement positives, nous prenons leurs inverses, ce qui inverse le sens des inégalités

\frac12<\frac1{u_n}<\frac{\sqrt2}2

on multiplie par 2

1<\frac2{u_n}<{\sqrt2}

or v_n=\frac2{u_n}

1<v_n<{\sqrt2}

demandez-leur des choses simples, ils arriveront quand même à vous les compliquer.

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 27-10-11 à 22:33

J'étais passée à la question 4, figurez vous.

Bien écrit cela donne: 2 U3 2
et 1 V3 2

C'est de ma faute, je n'ai pas l'habitude d'utiliser les symboles

Deplus, j'ai bien précisé dans l'énoncer, que les signes étaient NON STRICTES.
Désolée de mon manque de précision

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 27-10-11 à 22:33

énoncé*

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 27-10-11 à 22:39

Citation :
J'étais passée à la question 4, figurez vous.

figure-toi que je ne suis pas dans ta tête

ça t'étonne ?

et tu n'arrives pas à calculer u_3 ?

u_0= 2 et \Large u_{n+1}= \frac{u_n^2+2}{2u_n}

tu calcules u_1, puis u_2, puis u_3

et je t'autorise à utiliser la définition de v_n pour calculer v_0, v_1, v_2, v_3

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 27-10-11 à 22:51

en cadeau, les valeurs approchées

nu_nv_n
021
11,51,3333333333
21,41666666671,4117647059
31,41421568631,4142114385
41,41421356241,4142135624
51,41421356241,4142135624
61,41421356241,4142135624


tu commences à voir où l'exercice veut en venir ?

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 00:17

Ok, tout s'explique.
J'ai trouvé U3= 577/408
et V3= 816/577

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 10:17

très bien

passons maintenant au calcul de l' "erreur" w_n, c'est à dire l'écart entre u_n et v_n et à sa majoration.

tu vérifieras d'ailleurs ton énoncé, il y a une erreur. Et je ne parle pas que de l'absence, certes regrettable, de parenthèses.

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 13:22

je réecris comme il faut:

a) wn+1 = (wn²) / (4un+1)

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 13:24

en déduire que  wn+1 (wn²) / 4

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 13:28

l'erreur est plus loin, dans la majoration

mais ton message précédent, c'est vrai, clarifie l'énoncé. mais celle-là, d'erreur, je l'avais corrigée sans la relever. Je la mets au débit des parenthèses manquantes.

je te demanderai donc qu'à l'avenir tu fasses l'effort de clarté dès le premier message, ça rebutera moins tes lecteurs.

Et qu'est-ce que tu as obtenu de ton coté pour w_n ?

Je rappelle :

u_0=2 \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n} \\ \sqrt2\le u_n\le 2 \\ v_n=\frac2{u_n} \\ 1\le v_n\le \sqrt2 \\ w_n=u_n-v_n\ge0

as-tu réussi à montré que
\large w_{n+1}=\frac{w_n^2}{4u_{n+1}}

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 13:29

correction typographique :
à montrer que

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 14:13

J'ai commencé comme cela, à vous de me dire si c'est la bonne piste:

wn+1 = Un+1 - Vn+1

                = ( Un² + 2) / (2un) -  (2)/ (un+1)


J'ai commencé à développer la suite mais j'attends votre réponse pour la poster

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 14:14

En mettant les parenthèses avant et aprés le moins évidemment

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 29-10-11 à 14:17

ma réponse ?
ma réponse est que ce que tu as écrit est un simple début, et que tu es encore loin du résultat.
ce début a l'immense intérêt d'être correct, voilà ma réponse.

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 30-10-11 à 12:31

Bon, j'ai donc commencé à bien développer:

- j'ai tout mis sur le même dénominateur: (2un)x((un²+2)/(2un))
- J'ai remplacé Un+1, par la forme avec Un
- J'ai divisé toute la fraction par 2un
Et là, il me manque le facteur 4 au dénominateur pour avoir le bon résultat
(qui est 4((un2 +2) / (2un)),
et je ne sais pas du tout quoi faire pour transformer le numérateur

Voilà tout

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 30-10-11 à 13:17

Désolé, mais je n'arrive pas à suivre tes explications...
aucune équation, on dirait que tu as jeté sur le papier quelques réflexions personnelles, mais un relecteur n'a pas les éléments manquants sur le papier et qui sont restés dans ta tête. Donc je ne dirai rien de tes notes, à part que c'est du niveau d'un brouillon, donc que ça ne concerne pas le relecteur.

Je rappelle :

u_0=2 \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n} \\ \sqrt2\le u_n\le 2 \\ v_n=\frac2{u_n} \\ 1\le v_n\le \sqrt2 \\ w_n=u_n-v_n\ge0

Il faut montrer que
\large w_{n+1}=\frac{w_n^2}{4u_{n+1}}

Il y a des rédactions plus ou moins lourdes de la démonstration, je t'en propose une ici :

Soulignons que (a+2)²-8a=a²+4a+4-8a=a²-4a+4=(a-2)²
(ce genre de remarque permet par la suite de l'utiliser directement dans un calcul plus complexe et d'alléger ainsi la rédaction; évidemment, c'est la recherche au brouillon qui permet de dégager les "remarques" qu'il peut être utile de faire au propre avant d'attaquer le plat principal)

Nous avons
w_n=u_n-\frac2{u_n}=\frac{u_n^2-2}{u_n}

w_nu_n=u_n^2-2

donc en passant au rang suivant :
w_{n+1}u_{n+1}=u_{n+1}^2-2

en substituant dans le membre de droite u_{n+1} en fonction de u_n

w_{n+1}u_{n+1}=(\frac{u_n^2+2}{2u_n})^2-2

On réduit au même dénominateur
w_{n+1}u_{n+1}=\frac{(u_n^2+2)^2-8u_n^2}{(2u_n)^2}

on utilise la remarque préliminaire
w_{n+1}u_{n+1}=\frac{(u_n^2-2)^2}{(2u_n)^2}

w_{n+1}u_{n+1}=\frac14\frac{(u_n^2-2)^2}{u_n^2}

On reconnaît dans le membre de droite l'expression \frac14w_n^2

w_{n+1}u_{n+1}=\frac14w_n^2

Terminé

Sauras-tu faire la suite (la majoration) avec élégance ?

Posté par
Otokore : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 31-10-11 à 19:18

aucune idée pour la majoration, je n'en ai pas vraiment fait en cours..

Posté par
dhaltere : Méthode de Héron avec calcul d'erreur 31-10-11 à 19:30

parce que tu crois que tu verras en cours toutes les situations auxquelles tu pourrais être confronté ? naïveté, quand tu nous tiens.

\Large w_{n+1}=\frac14\frac{w_n^2}{u_{n+1}}

or nous avons vu que pour tout n

\sqrt2\le u_n \le 2

donc évidemment, cela est vérifié pour u_{n+1}

\sqrt2\le u_{n+1} \le 2

tous ces termes sont strictement positifs, je vais en prendre les inverses

\frac12\le \frac1{u_{n+1}} \le\frac1{\sqrt2}

et \frac1{\sqrt2}\le 1 soyons large

\frac12\le \frac1{u_{n+1}} \le1

donc \Large w_{n+1}=\frac14\frac{w_n^2}{u_{n+1}}\le \frac14w_n^2


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