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Mineurs, codimension, dépendance formes linéaires
Bonjour,
Je ne comprend pas la correction de l'exercice suivant :
Soient v = un vecteur
0 et D = 
v la droite engendrée par v.
Soit w = un vecteur arbitraire de
3.
Soit la matrice A = .
1. Donner trois formes linéaires 
, 
, 
définissant D, en considérant les mineurs 2
2 de la matrice A.
Réponse : on a les trois formes linéaires suivantes, (w) = bz-cy=0, (w) = az-cx = 0, (w)= ay-bx = 0.
2. Dîtes, sans calcul, pourquoi les trois formes linéaires ne sont pas indépendantes.
Réponse : Comme D est de codimension 3-1 = 2 dans 3, l'espace D
des formes linéaires sur 3 s'annulant sur D est de dimension 2. Donc , et ne sont pas linéairement indépendante.
Ce que je ne comprend pas en fait, c'est en quoi le fait que D soit de dimension 2 permet de conclure sur l'indépendance de , et .
Et pour parler de codimension, il faudrait prouver avant prouver que D 
D = 0, non ? ça doit être évident mais je ne vois pas.
Reprenons ton sujet, car je n"avais pas vu qu'il s'agissait d'orthogonalité au sens dual.
1°) w 
d 
v et w colinéaires rg(A) = 1
Conséquence ; ses trois mineurs d'ordre 2 sont nuls.
Les formes linéaires , , définies ainsi sont :
(w)= bz - cy
(w) = az - cx
(w) = ay - bx
2°) Comme (v) = (v) = (v) = 0, ces trois formes appartiennent à l'orthogonal de d.
Cette orthogonalité est définie au sens de la dualité : v est dans IR3, , ,
sont dans d sous-espace de (IR3)* espace dual de IR3.
Donc, on ne peut pas dire que d et d sont supplémentaires car ils n'appartiennent pas aux mêmes espaces.
Par contre, le cours sur la dualité prouve que l'on a bien, pour tout sous-espace F de E (E de dimension finie) :
dim(F) = dim(E) - dim(F)
Je ne comprend pas tout.
Déjà, la définition de l'orthogonal de d. A mon sens c'est : {w3 | 
(w, v) = 0, 
v d} avec une forme bilinéaire alternée.
l'othogonal de d est un sous-espace vectoriel de 3, comment ce fait-t-il que , , soient " dans dans d " ? Ce ne sont pas des vecteurs mais des applications.
...
Aaah ok d est un sous-espace de ( 3 )* dual. "définie au sens dual" ok.
Donc d et d, ne sont pas supplémentaires. Mais dim(F) = dim(E) - dim(F), ok.
Sauf que je ne comprend toujours pas pourquoi , , ne sont pas linéairement indépendant.
Ah d'accord. Comme trois vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2 qui sont obligatoirement liées.
Finalement il suffit de s'appuyer sur la formule : dim(F) = dim(E) - dim(F) = 2
Merci raymond
Bonsoir,
Je voudrais revenir sur une dernière chose. Tu a dis que " pour tout sous-espace F de E (E de dimension finie), on a dim(F) = dim(E) - dim(F) ". Mais je viens de lire dans le cours sur l'orthogonalité que cette égalité est vrai si E = {0}.
Bon, c'est le cas ici puisque E = 3. Mais est-ce le cas pour tout E de toute dimensions. Par exemple pour dim(E) = 2 ?
Peu-être que je m'embrouille mais je tiens à éclaircir ce point.
Lorsque tu dis que l'on doit avoir : E = {0}, tu te places certainement dans le cours sur l'orthogonalité au sens des formes bilinéaires symétriques.
Ah oui. En effet je me place dans le cours sur l'orthogonalité au sens des formes bilinéaires symétrique. Dans ce problème, il s'agit d'orthogonalité au sens des formes linéaires. Dans mon cours, la séparation entre les deux définitions n'est pas faite.
merci et bonne soirée.
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