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Minimum fonction

Posté par
alhi88 17-10-19 à 15:30

Hello! J'ai un DM de maths à faire et je bloque sur ces 2 questions. Merci d'avance pour toute aide!

On propose d'étudier le minimum: [√(a+b)][(1/(√(a)))+(1/(√(b)))] où a et b sont des réels strictement positifs. On pose x=a/b

1. Montrer que: [√(a+b)][(1/(√(a)))+(1/(√(b)))]=f(x) où f(x)=[√(1+x)][1+(1/(√(x)))]
2. Déterminer le minimum de f sur ]0;+∞[

J'ai fait quelques recherches pour la 1 sans aboutir... Et pour la 2 il me semble qu'il faut passer pour la dérivée (f'(x)=0?) non? J'ai cherché la dérivée mais pareil je bloque un peu...

Posté par
alb12re : Minimum fonction 17-10-19 à 15:34

salut, mets racine de a en facteur en haut et en bas

Posté par
alb12re : Minimum fonction 17-10-19 à 15:51

oups racine de b en facteur

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 17-10-19 à 15:58

alb12 c'est-à-dire? (Je comprends pas ce que tu veux dire... :/ )

Posté par
caritare : Minimum fonction 17-10-19 à 16:50

bonjour
en attendant le retour de alb12, que je salue

x=a/b
a = bx

dans ton expression, remplace tous les  a par bx

puis factorise \sqrt{b} sur   \sqrt{a+b},

et factorise   \dfrac{1}{\sqrt{b}}  sur  \dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}}.

tu dois retrouver l'expression de f(x).

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 19-10-19 à 12:44

Bonjour carita
Excusez moi du délai de réponse,,
Du coup j'ai essayé et je suis tombé sur
b*(x+1)*[1/b*(1/x+1)]
Du coup le b et 1/b font 1 non?

Posté par
caritare : Minimum fonction 19-10-19 à 12:58

bonjour alhi88

tout à fait, comme produit d'un nombre (non nul) et de son inverse.

Posté par
pzorba75re : Minimum fonction 19-10-19 à 13:59

Pour connaître les variations de f:x->sqrt(1+x)*(1+1/sqrt(x)), tu dois calculer f'(x) et déterminer son signe. Tu auras besoin de l'identité remarquable u3-v3 sous forme factorisée pour arriver au résultat.

Posté par
caritare : Minimum fonction 19-10-19 à 14:04

bonjour pzorba75

Tu auras besoin de l'identité remarquable u³-v³ sous forme factorisée pour arriver au résultat.

tu veux dire pour trouver le signe de la dérivée ?
hum... pas forcément, si on pars du principe que la variation de la fonction cube est acquise.

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 14:11

salut

vu les deux questions il ne faut surement pas dérivée f évidemment !!!

cependant je ne vois pas encore le lien entre les deux questions mais il semble raisonnable de penser que 2/ utilise 1/ ...

Posté par
caritare : Minimum fonction 19-10-19 à 14:22

bonjour carpediem

d'après ce que j'ai compris,
il faut déterminer le minimum de f pour en déduire - à partir de la 1),
le minimum de  [√(a+b)][(1/(√(a)))+(1/(√(b)))]

mais sans dériver f, je ne vois pas... :/

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 14:41

Bonjour,
Je suis d'accord avec carita pour l'utilité du calcul de la dérivée.
Par contre, pour son signe, je n'ai pas eu besoin d'une identité remarquable.
Sauf erreur.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 14:43

Ni de la fonction cube.

Posté par
caritare : Minimum fonction 19-10-19 à 14:46

non, tu n'as pas fait d'erreur, ou alors on est deux à avoir fait exactement la même.
je douterai plus de mes calculs que des tiens !

j'aimerais bien que alhi88 nous montre le détail du calcul de sa dérivée, qui la bloque,
afin qu'on puisse l'aider à terminer cet exo.

Posté par
caritare : Minimum fonction 19-10-19 à 14:50

Sylvieg @ 19-10-2019 à 14:43

Ni de la fonction cube.
ah.
alors je te laisse la main si alhi88 revient,
tu as dû voir une simplification qui m'échappe pour le moment.

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 15:32

ha oui !! pardon ...

Citation :
Et pour la 2 il me semble qu'il faut passer pour la dérivée (f'(x)=0?) non?
non on peut ...

f(x) = \dfrac {\sqrt {1 + x}} {1 + \dfrac 1 {\sqrt x}} = \sqrt x \dfrac {\sqrt {1 + x}} {1 + \sqrt x}

le minimum est donc évident ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 15:39

@carpediem,
Ton expression de f(x) est bizarre \;

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 15:51

Ce que j'ai compris de l'énoncé du 1) :

Transformer \; (\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}})\sqrt{a+b}

Trouver \; (1+\dfrac{1}{\sqrt{x}})\sqrt{1+x}

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 15:56

damned !!! c'est un produit !!!

sans espace j'ai "lu" un quotient !!!

f(x) = \sqrt {1 + x} \left( 1 + \dfrac 1 {\sqrt x} \right) = \sqrt {1 + x} + \dfrac {\sqrt {1 + x}}{\sqrt x}

f(x) = f\left( \dfrac 1 x \right) donc le minimum est encore et toujours évident ...



PS : la fonction est positive et tend vers l'infini en 0 et en +oo ... c'est pourquoi j'affirme ce que j'affirme ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 16:02

Perturbé par le rugby \;
Il faut dire que la lecture des formules de l'énoncé dans le 1er message est ardue.
C'est pour ça que j'ai cru bon de tout réécrire.

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 16:06

surtout avec toutes ces parenthèses inutiles ... même si on peut remercier alhi88 d'avoir utiliser des crochets pour aider un peu ... et écrire "proprement" les expressions ...

cependant des espaces amélioreraient grandement la lisibilité encore ...

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 19-10-19 à 16:21

Bon du coup le truc c'est que je suis partie super loin pour ma dérivée... je suis partie sur
f(x)=u+v où v=u/t où t(x)=x et u=w où w(x)=1+x
Et t'(x)=1/2x ; w'(x)=1 d'où u'(x)=1/2(x+1)
Ainsi: v'=(u't-t'u)/t2
v'(x)=[(1/2(x+1))*(x)-(1/2(x))*(x+1)]/x
Et j'arrive à -1/(2x(x2+x))
Je suis absolument pas sure de ma démarche et encore moins de mon résultat....

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 19-10-19 à 16:22

carpediem
J'avoue c'est pas forcement lisible... mais j'essaie de transmettre un maximum bien les infos....

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 16:41

tout à fait et je t'en remercie et aie noter ton effort !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 17:06

Tu n'as pas choisi le plus simple, mais c'est bon pour \; v'(x).
Reste à réduire au même dénominateur \; u'(x) + v'(x) .
Conserve au dénominateur de \; v'(x) \; le produit \; x(1+x) .

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 19-10-19 à 17:17

Sylvieg
Globalement là est mon problème actuellement:
J'ai réessayé du coup en gardant le dénominateur développé :
f'(x)=[1/2(x+1)]-[1/(2x*x*(x+1))]
f'(x)=[x*(x)-1]/[2x*(x)*(x+1)] ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 17:36

Mais oui, c'est bon \;
Il y a une valeur évidente qui annule la dérivée.
Le signe est ensuite facile.

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 18:10

maintenant que tu as bien travaillé et puisque tu es en terminale tu sais dériver la fonction x--> f(u(x)) donc :

carpediem @ 19-10-2019 à 15:56

f(x) = \sqrt {1 + x} \left( 1 + \dfrac 1 {\sqrt x} \right) = \sqrt {1 + x} + \dfrac {\sqrt {1 + x}}{\sqrt x}

f(x) = f\left( \dfrac 1 x \right) donc le minimum est encore et toujours évident ...



PS : la fonction est positive et tend vers l'infini en 0 et en +oo ... c'est pourquoi j'affirme ce que j'affirme ...


1/ que fait la fonction x --> 1/x sur l'intervalle ]0, +oo[ ? (deux choses à dire)

2/ dériver la relation f(x) = f\left( \dfrac 1 x \right)

3/ retrouver ton résultat avec la dérivée

4/ conclure ...

5/ comparer les deux méthodes ...

Posté par
pzorba75re : Minimum fonction 19-10-19 à 18:13

Dans mon calcul a3=x*sqrt(x) et b3=3 et tout est réglé simplement avec l'identité que j'évoquais. S'il y a plus facile, j'aime encore apprendre.

Posté par
pzorba75re : Minimum fonction 19-10-19 à 18:16

Dans mon calcul a3=x*sqrt(x) et b3=1 et tout est réglé simplement avec l'identité que j'évoquais. S'il y a plus facile, j'aime encore apprendre.

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 19-10-19 à 19:17

Bon, du coup j'ai x=1 et f(1)=22
Normalement c'est bon du coup! Merci beaucoup!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 19:35

Il te reste encore à justifier le signe de la dérivée.
Soit avec la méthode de pzorba75, soit en utilisant ceci :
Si x> 1 alors x>1 et le produit idem.
Si 0 < x < 1 \; alors \; 0 < x < 1 \; et le produit idem.

Posté par
alhi88re : Minimum fonction 19-10-19 à 21:15

Oui c'est ce que j'ai noté ^^ merci beaucoup!! (Comme pour x<1, f'<0, f est decroissante sur ]0;1] Et pour x>1, f'>0, f est croissante sur [1;+infini[

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 19-10-19 à 22:14

Bonne nuit \;

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 19-10-19 à 22:53

un nombre est nul <=> il est égal à son opposé ...

f(x) = f\left( \dfrac 1 x \right) => -x^2f'(x) = f' \left( \dfrac 1 x \right)

donc f'(1) = - f'(1) \iff f'(1) = 0

donc f admet le minimum f(1) en l'unique point 1

1/ la fonction inverse est strictement monotone décroissante et échange les intervalles ]0, 1] et [1, +oo[

...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 20-10-19 à 08:22

Bonjour carpediem,
Comment sait-on qu'il y a un unique minimum ?
Que penses-tu de \; f(x) = 0.5x3 + 0.5/x3 - x2 - 1/x2 - 4x - 4/x + 15 \; ?

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:00

ta fonction f n'est pas monotone sur l'intervalle ]0, 1] ... donc on aura d'autres extrema ...

et vu la "symétrie" 1/x le minimum n'aura pas lieu en 1 ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:20

Et pourquoi la fonction de l'exercice serait évidemment monotone sur ]0, 1] ?

Pour qu'on sache de quoi on parle, je change le nom de "ma" fonction :
g(x) = 0.5x3 + 0.5/x3 - x2 - 1/x2 - 4x - 4/x + 15
Pour cette fonction \; g , pas de "le minimum", car il y en a 2. Et un maximum en 1.

Tout ça pour dire que je ne comprends pas comment se passer de dériver f dans l'exercice.

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:34

je suis d'accord avec toi ...

vu la régularité de la fonction f ici j'ai admis (ce qui n'est pas mathématique bien sur) sa monotonie et l'unicité de l'extremum ... qui est donc un minimum ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:44

Je ne connaissais pas l'adjectif "régularité" pour des fonctions.
Une un notion qui a disparu dans les oubliettes de mon cerveau \;

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:45

mais on peut quand même se passer de la dérivée avec une courbe de f (se qui est possible à l'époque moderne de maintenant)

x \mapsto \sqrt {1+ x} est croissante

donc toujours avec la propriété f(x) = f(1/x) alors pour 1 =< x < y on a on regarde le deuxième morceau de f et avec un taux de variation de ce deuxième morceau on cherche le signe de \sqrt {y + 1} \sqrt x} - \sqrt {x + 1} \sqrt y donc le signe est donné aussi par (y + 1)x - (x + 1)y (en multipliant par exemple par la quantité conjugué ou parce que la fonction carrée est croissante sur R+)

or x(y + 1) - y(x + 1) = x - y

ha m**** ça ne marche pas !!! le deuxième morceau est décroissant ...

Faut se taper la dérivée !!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:46

Une notion

On est bien d'accord, dériver était à priori incontournable ?

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:49

oui je ne vois rien d'autre ...

on sait qu'en 1 il y a un extremum ... mais on ne peut rien dire de plus ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Minimum fonction 20-10-19 à 09:51

Messages croisés.
Je vais censurer un certain mot qui n'est pas accepté sur l'île ...
La déception sans doute.

Posté par
carpediemre : Minimum fonction 20-10-19 à 10:32

ok ... même si c'est un mot du dictionnaire relativement courant ... qui marque en l'occurrence ici la déception effectivement !!!

Posté par
alb12re : Minimum fonction 22-10-19 à 16:23

remarque
x->x*sqrt(x)-1 est croissante sur R+ et s'annule en 1 d'où son signe.


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