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Minimum/maximum
Bonjour,
Soit ABC un triangle. on note a, b, c les longueurs respectives des côtés [BC], [CA] et [AB]. Soit E l'ensemble des triangles ABC (y compris ceux qui sont aplatis) du plan tels que ab+bc+ca=12. On note p le demi-périmètre d'un élément de E. Déterminer le minimum et le maximum de p.
Voici ce que je propose . Quitte à renommer ce triangle, on peut supposer que
D'autre part on trouve que
Maintenant, comment minimiser le demi-périmètre ? Je ne sais pas si c'est utile, mais a, b et c ont nécessairement tous les trois le même reste après division par 3.
Merci d'avance pour un petit coup de main.
Pour info tu as des éléments de réponse dans ce topic là (regarde la partie 3) : 
Exercice assez difficile . mais je n'ai pas regardé en détails.
Je viens de trouver qqch en regardant l'autre topic :
Sans passer par la transformation a=x+y, b=y+z et c=z+x comme il a été fait :
On a a+b\geq c, b+c\geq a et a+c\geq b. On en déduit que . De même,
. On somme, et on obtient
. Or
. Pour maximiser p, on maximise
et on prend donc
(qui est obtenu lorsque b+c=a, a+c=b et a+b=c soit a=b=c=0). On obtient alors
soit p=6 et donc p/2=3.
Bonjour,
Je crois que tu t'es mélangé les crayons:
On a bien
et
donc
Ce maximum est atteint pour un triangle aplati où un côté est de longueur nulle et les 2 autres sont égaux à
Pour le minimum, on obtient avec les mêmes méthodes .
Ce minimum est atteint lorsque le triangle est équilatéral de côté
Pour voir quand le maximum est atteint, on peut utiliser la formule de Héron:
Si , on obtient:
Donc nécessairement, et un des côtés est de mesure nulle (avec les deux autres égaux).
Ce qui donne bien un triangle aplati avec 2 côtés de mesure et le dernier de mesure nulle.
On peut vérifier que
Pour voir quand le minimum est atteint:
On a l'identité:
Donc si , on déduit immédiatement que
C'est à dire ici que est équilatéral (et donc, avec
, de côté
)
Je me disais bien que la solution à cet exo n'était pas aussi complexe que comme il a été fait sur l'autre topic, vu les autres questions du DS en question
Je me disais bien que la solution à cet exo n'était pas aussi complexe
Tu as raison, ce n'est pas vraiment "complexe". L'exercice revient à montrer que nécessairement:
Et que les bornes sont atteintes pour 2 types de triangles particuliers.
Mais on s'en rend compte une fois qu'on a fait le tour de la question. Pour ma part, j'ai tout de même cherché un moment (en abandonnant rapidement le lien) avant de trouver quelque chose de présentable...
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