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modèle de verhulst

Posté par
Rosie123
08-12-10 à 16:38

Bonjour,
J'ai un devoir de mathématique à rendre et je bloque actuellement sur un problème de math, sur les equations differentielles, je ne comprends pas ce chapitre pouviez-vous m'aider Svp

On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0)=0.01.
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle :

E1 : y'=0.022y(20-y)

1. On pose u = 1/f
Démontrer que f est solution de (E1), si et seulement si, u est solution de l'équation différentielle :

E2: y'=-0.44y+0.022

2. Résoudre l'équation (E2) et en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E1).

3. Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0.+oo[ PAR /

f(t)= 20 / 1+1999 exp(-0.44t)

4a) Démontrer que pour tout réel t de [0 ; + 8 [ >>> 0<f(t)<20.
b) En déduire sans calcul que f est strictement croissante sur [0; + 8[

5a) Calculer la limite de f(t) lorsque t tend vers +8.



Voilà ce que j'ai fait ....:

- F verifie (E1) <=> U vérifie (E2)
- (E1) > f'=0,022f*(20-f)
  f non nul >> u=1/f donc f=1/u , f'= -u'/u²

On remplace dans E1    >>> -u'/u² = (0,022 1/u) * (20 - 1/u)
Pour essayer de tomber >>> u' =((0,022 1/u) * (20 - 1/u)) * (-u)²
sur (E2)               >>> Je suis bloqué...                  
                  


Besoin d'aide Svp.... Merci d'avance

Posté par
MisterJack
re : modèle de verhulst 08-12-10 à 22:12

Hello,
2)
Il faut d'abord résoudre l'équation homogène y'=-0,44y, dont les solutions sont de la forme f(t)=ke^{-0,44t}.
Ensuite il faut trouver une solution particulière de (E2)  par exemple constante g(x)=k', ce qui entraine 0=-0,44k'+0,022 donc k'=\frac{1}{20}.
Conclusion les solutions de (E2) sont de la forme u(t)=ke^{-0,44t}+\frac{1}{20}.
Du coup les solutions de (E1) sont de la forme f(t)=\frac{1}{ke^{-0,44t}+\frac{1}{20}}.
Il reste à trouver k sachant que f(0)=0,01=\frac{1}{100}. Or f(0)=\frac{1}{k+\frac{1}{20}}=\frac{1}{100} donc k=\frac{1999}{20} ( je te laisse faire les calculs ).
3)
Découle directement de la question précédente.
4)
a)
C'est une question d'encadrement.
0\le t<8
 \\ -3,52<-0,44t\le0
 \\ 0<e^{-0,44t}\le1
 \\ 0<1999e^{-0,44t}\le1999
 \\ 1<1+1999e^{-0,44t}\le2000
 \\ 0<\frac{1}{1+1999e^{-0,44t}}<1
 \\ 0<\frac{20}{1+1999e^{-0,44t}}<20
b)
D'après (E1) f'(t) =0,022f(t)(20-f(t) donc f'(t)>0.
5)
Oh ben là c'est facile e^{-0,44t}\rightarrow0 donc tu vas bien trouver la limite de f(t).

Posté par
Rosie123
re : modèle de verhulst 09-12-10 à 18:09

merci pour cette aide mais j'ai un autre exercice à faire aussi! tu pourras m'aider?
le lien c'est : https://www.ilemaths.net/sujet-etude-d-une-fonction-impaire-393564.html#msg3344472
stp

Posté par
Rosie123
re : modèle de verhulst 09-12-10 à 18:10

désolée! je peux te tutoyer?

Posté par
MisterJack
re : modèle de verhulst 10-12-10 à 09:05

Oui oui pas de problème pour le tutoiement....j'irai voir ton exercice.



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