Bonjour,
J'ai un devoir de mathématique à rendre et je bloque actuellement sur un problème de math, sur les equations differentielles, je ne comprends pas ce chapitre pouviez-vous m'aider Svp
On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0)=0.01.
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle :
E1 : y'=0.022y(20-y)
1. On pose u = 1/f
Démontrer que f est solution de (E1), si et seulement si, u est solution de l'équation différentielle :
E2: y'=-0.44y+0.022
2. Résoudre l'équation (E2) et en déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E1).
3. Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0.+oo[ PAR /
f(t)= 20 / 1+1999 exp(-0.44t)
4a) Démontrer que pour tout réel t de [0 ; + 8 [ >>> 0<f(t)<20.
b) En déduire sans calcul que f est strictement croissante sur [0; + 8[
5a) Calculer la limite de f(t) lorsque t tend vers +8.
Voilà ce que j'ai fait ....:
- F verifie (E1) <=> U vérifie (E2)
- (E1) > f'=0,022f*(20-f)
f non nul >> u=1/f donc f=1/u , f'= -u'/u²
On remplace dans E1 >>> -u'/u² = (0,022 1/u) * (20 - 1/u)
Pour essayer de tomber >>> u' =((0,022 1/u) * (20 - 1/u)) * (-u)²
sur (E2) >>> Je suis bloqué...
Besoin d'aide Svp.... Merci d'avance
Hello,
2)
Il faut d'abord résoudre l'équation homogène , dont les solutions sont de la forme
.
Ensuite il faut trouver une solution particulière de (E2) par exemple constante , ce qui entraine
donc
.
Conclusion les solutions de (E2) sont de la forme .
Du coup les solutions de (E1) sont de la forme .
Il reste à trouver k sachant que f(0)=0,01=\frac{1}{100}. Or donc
( je te laisse faire les calculs ).
3)
Découle directement de la question précédente.
4)
a)
C'est une question d'encadrement.
b)
D'après (E1) f'(t) =0,022f(t)(20-f(t) donc f'(t)>0.
5)
Oh ben là c'est facile donc tu vas bien trouver la limite de f(t).
merci pour cette aide mais j'ai un autre exercice à faire aussi! tu pourras m'aider?
le lien c'est : https://www.ilemaths.net/sujet-etude-d-une-fonction-impaire-393564.html#msg3344472
stp
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