Salut
Sympa le prof nous a donné un paquet de polys sur les modules pou l'année prochaine
Deux questions simples pour vous sans doute
La première : Soit M un A-module. Si A est un corps, alors frac(M)=M
Déjà, je vois pas très bien ce qu'est frac(M) pour un module ?
Ensuite, si A est un corps, alors M est un espace-vectoriel. Mais comment en d"duit-on que frac(M)=M ?
Merci
Bonjour
En effet, frac(M) est un peu obscur... Je pense que la situation est la suivante: A est un anneau intègre, K son corps des fractions. A partir du A-module M, on peut construire un K-espace vectoriel, probablement le frac(M) dont on parle. Alors bien sur, si A est corps...
Salut ^^
Si A est un corps ... M est un espace vectoriel
Donc c'est par construction que frac(M)=M ?
ok
Deuxième question
Je viens de montrer qu'un module libre sur un anneau intègre est sans torsion.
Dans le poly ils disent que cela permet d'en déduire que l'application f de M dans frac(M) qui à m associe m/1 est injective.
Je ne vois pas om la proposition intervient
Si m ker(f), alors f(m)=0=m/1=0/1 donc m=1, car A intègre, non ?
merci
Z/5Z est un Z-module.
J'essaie : pour tout m dans Z/5Z, 5.m=0 donc Z/5Z est de torsion, donc frac(Z/5Z)=0
Me trompe-je ?
Oui, c'est bien ça pour les modules de torsion.
Pour MFrac(M)
En général: f(m)=m/1=0 signifie que pour tout n mn/n=0, donc mn=0. Si c'est sans torsion, ceci entraine m=0.
Lemme :
SOit une base d'un A-module M libre de rang n et
Désignons par le sous-module engendré par les éléments
Alors
Bon pour la preuve on considère l'application : qui à associe
Il faut montrer que \phi est un morphisme de modules.
Pas de problème pour montrer que est un morphisme de sous-groupes, mais je n'arrive pas à voir pourquoi ?
Si je prends et a dans A
alors du morphisme mais après ??
Lorsque je défini , elle va de M dans ...
C'est M et pas A
Et on voit mal mes alpha.
Donc qui à associe
Bref, je n'arrive pas à montrer que c'est un morphisme
Merci
Ok j'y vois plus clair
Donc je prends a dans A et m dans M et je montre que
Mais je prends quoi comme loi . ? Faut-il considérer A comme un A-module sur lui-même ?
Je ne sais pas si tu comprends ma question ...
Bah j'ai juste vu pour que ceci portait le nom de module monogène je crois
Tu peux me donner la définition de cette structure ?
Un module monogène admet une famille génératrice (en tant que module) formée d'un élément! C'est le cas de A/aA qui est engendré par la classe de 1.
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