Tout d'abord, bonsoir à tous et bonne année 2008 =^^= (en retard désolé)
J'aurai besoin de votre précieuse aide pour un exercice de ... dénombrement !
En fait le but est de savoir de combien de manieres differentes on peut payer 5 centimes avec des pièces de 1, 2 et 5 centimes.
Pour commencer j'en ai trouver 4 :
- 5 cents
- 2 cents+ 2cents +1cents
- 2 cents + 1 cents + 1cents + 1cents
- 1 cents + 1 cents + 1 cents + 1 cents + 1cents
Maintenant il faudrait le montrer mais de façons plus "mathémathiques" et generalisable.
Pour cela on a 3 fonctions polynomes de degré 5:
F1(x)= a0+ a1x + a2x²+ ....+ a5x^5
F2(x)= b0+ b1x + b2x²+ ....+ b5x^5
F3(x)= c0+ c1x + c2x²+ ....+ c5x^5
où an désigne le bnre de façons de payer n centimes en pièces de 1 cents,
bn désigne le bnre de façons de payer n centimes en pièces de 2 cents,
et cn désigne le bnre de façons de payer n centimes en pièces de 5 cents.
Je dois justifier que F1(x)= 1+1x+1x²+...+1x^5 puis que F2(x)= 1+1x²+1x^4 .
bonsoir
a5=1 car il n'y a qu'une façon de payer 5centimes avec des pièces de 1 centime
d'une façon générale il n'y a qu'une façon de payer n centimes avec des pièces de 1 centimes donc an=1 pour tout n entier a0=1 (une seule façon:0 pièce)
b5=0 on ne peut pas payer 5 centimes avec des pièces de 2 centimes
b4=1 car 4=2+2 une seule façon
b3=0 impossible
b2=1
b0=1 (une seule façon:0 pièce)
c5=1
et pour 0<n<5 cn=0 ce n'est pas possibble
c0=1 (une seule façon : 0 pièce)
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