Bonjour,

Que sais-tu des sous-modules d'un module libre de rang fini sur un anneau principal ?

Ils sont aussi libres, en fait il devrait exister des une suite descroissante d'idéaux a1A a2A  akA de sorte que je puisse utiliser le théoreme de la base adaptée mais ce que je n'arrive pas c'est decrire les sous modules en question...

Si la question est bien de décrire ces sous-modules à isomorphisme près, comme ils sont libres, il suffit de connaître leur rang, n'est-ce pas ?

Oui il va donc falloir compté le nombre de suites d'idéaux possibles mais il faut quand meme faire intervenir l'irréductibilité de a, il y'a peut etre un résultat de cours que je ne connais pas...

Je suis désolé de t'avoir fait perdre ton temps Gabuzomeu, je n'avais pas le résultat qui dit que si a est irréductible alors aA est maximal, il suffit alors de decider le nombre d'idéal de la suite qui vont etre égal a aA et ceux égales a A, je compte donc n+1 possibilité.

As-tu vraiment retranscrit la question telle qu'elle est posée ?
Si c'est "on veut à isomorphisme près les sous modules N de M tels que aM est inclus dans N", alors la réponse est claire : tous ces sous-modules sont isomorphes à , car ils sont tous libres de rang n. Ils sont libres comme sous-modules d'un module libre, et de rang n car ils contiennent aM qui est libre de rang n come M (et ceci, quel que soit l'élément a de A, pourvu qu'il soit non nul).
La question qui ferait déjà plus de sens serait de demander de dire quels sont, à isomorphisme près, tous les modules quotients M/N.