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Niveau terminale
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monotonie de suite

Posté par
la_si_do
24-04-13 à 21:01

Bonjour,

Ayant quelques difficultés avec un dm de maths, je serais très heureuse si quelqu'un pouvait m'expliquer... l'exercice comporte 12 questions et seule la 11eme me pose un souci. Voici l'énoncé :
On considère la fonction f définie sur [0;+oo[ par f(x)=(e^(x)-1)/(xe^(x)+1). On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O,i,j) ; unité graphique 4cm
1.Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d'abscisse 0
2.Etablir que pour tout x appartenant à l'intervalle [0;+oo[ f(x)-x=((x+1)u(x))/(xe^(x)+1) avec u(x)=e^(x)-xe^(x)-1
3.Etudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle [0;+oo[. En déduire le signe de u(x)
4.Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la droite (T)
5.Tracer C et T
6.Montrer que pour tout réel positif x, f(x)=(1-e^(-x))/(x+e^(-x))
7.Déterminer une primitive F de f sur [0;1]
8.On note D le domaine délimité par la courbe C, la tangente T et les droites d'équations x=0 et x=1. Calculer en cm², l'aire A du domaine D. Donner sa valeur décimale au mm² près de l'aire A.
9.Pour tout entier naturel n, on pose vn = intégrale de n à n+1 de f(x)dx
Calculer v0, v1 et v2
10. Interpréter graphiquement vn
11.On suppose que f est décroissante sur [2;+oo[. Montrer que pour tout n>ouégaleà 2
f(n+1)<ouégale vn <ouégale f(n)
Je suis parvenue à répondre à toutes ces questions et voici celle qui me pose problème :
En déduire la monotonie de la suite vn à partir de n=1
12.Déterminer la limite de la suite vn (je suis parvenue à y répondre également

Mes pistes : je parviens tout à fait à comprendre que vn est décroissante mais je n'arrive pas à le démontrer. je pense qu'il faut utiliser ce qu'il nous demande de démontrer juste avant. J'ai fait un petit schéma sur ma feuille où l'on visualise bien que vn est décroissante mais je pense que cela n'est pas suffisant. En espérant que quelqu'un pourra me donner quelques pistes, je vous remercie de prendre le temps de lire ce message.

Posté par
Barney
re : monotonie de suite 24-04-13 à 21:44

Bonsoir,

Où sont tes réponses ?

Posté par
la_si_do
re : monotonie de suite 25-04-13 à 20:30

étant donnée que je n'avais pas eu de souci à y répondre, je ne pensais pas qu'il était nécessaire de les mettre... Mais je peux mettre celles relatives à la suite Vn, puisque je ne pense pas que les autres soient utiles pour réussir la 11.
9. v0=0,31 ; v1=0,45 ; v2=0,36
10. c'est l'aire de la partie du plan comprise entre C, l'axe des abscisses, x=n et x=n+1
11. j'ai fait une démonstration en utilisant mon cours, basée sur un schéma représentant une courbe décroissante, et en ordonnée deux droites d'équation x=n et x=n+1. j'ai reporté en ordonnée f(n) et f(n+1) puis j'ai expliquer ce que représentait F(n), F(n+1) et en ai déduis que vn=F(n+1)-F(n comprise entre aire du petit rectangle et du grand rectangle cad f(n+1) et f(n)... il me reste maintenant à en déduire la monotonie de la suite que je suppose décroissante mais je n'arrive pas à le démontrer.
Voilà, merci de votre réponse et d'avoir pris le temps de vous interesser à mon problème

Posté par
Barney
re : monotonie de suite 25-04-13 à 20:36

ok super

tu sais que , par définition n+1 > n
il te reste donc à démontrer que Vn+1<Vn
tu concluras

Posté par
la_si_do
re : monotonie de suite 26-04-13 à 11:08

merci beaucoup de votre réponse !
Cependant je ne parviens toujours pas à le démontrer ...
J'ai essayé de calculer Vn+1 - Vn, pour pouvoir en déduire son signe mais j'obtiens
Vn+1 -Vn = ln(n+2+e^(-n-2)) - 2[ln(n+1+e^(-n-1))] - ln(n+e^(n)) et je ne vois pas comment étudier le signe de cela ...
ensuite si je sais que n+1>n alors f(n+1)<f(n) puisque f est décroissante on change les inégalités de sens
Cependant après je suis bloquée ... je suis désolé, peut-etre pourriez vous me donner un indice supplémentaire ?
P.S : je pense également que je dois me servir à un moment donnée de ce que j'ai démontrer, cad
f(n+1)<Vn<f(n)...
Merci beaucoup de votre aide

Posté par
la_si_do
re : monotonie de suite 26-04-13 à 11:32

Après avoir encore réfléchi, j'ai peut etre une piste mais je ne sais pas si elle peut etre considérer comme une démonstration : on peut démontrer comme nous l'avons fait pour vn que f(n+2)<vn+1<f(n+1)
on obtient alors :
f(n+2) < vn+1 < f(n+1) < vn < f(n)
Vn+1 < Vn
Y aurait-il un moyen, par le calcul (et non le dessin) de montrer que f(n+2) < vn+1 < f(n+1) ?
Mais je crains que cette démonstration ne se tienne pas ...
Merci de votre aide ...

Posté par
la_si_do
re : monotonie de suite 01-05-13 à 20:26

désolé d'etre insistante ...
pourriez juste m'indiquer si mon raisonnement est correcte ?
Merci d'avance



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