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montrer l'hérédité ou faire l'initialisation

Posté par
Azoks
26-11-21 à 14:12

Bonjour,
Je voudrai avoir de l'aide sur un sujet qui est le suivant :
"Soit la proposition P(n) : "7^n + 1 est un multiple de 6
a. Montrer que P(n) est héréditaire.
b. Tester P(n) pour n=0,1,2,3 et conclure."

Je ne comprends pas comment montrer l'hérédité de la proposition si les premiers termes ne sont pas multiple de 6, comment faire l'initialisation si la proposition n'est pas vraie pour les premiers termes de n ?

Merci

Posté par
Foxdevil
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 14:22

Bonjour,

L'hérédité et l'initialisation sont deux choses différentes.

L'initialisation c'est dire qu'elle (la propriété) est vraie au premier rang.

L'hérédité, c'est juste dire qu'elle se transmets. Autrement dit, que si jamais elle est vraie pour quelqu'un, alors elle l'est automatiquement pour l'entier suivant. Du coup, l'hérédité ne dit absolument pas (en soi) si elle est vraie pour un entier ou pas. Elle dit juste que quand elle est vrai pour un entier, elle est vraie pour le suivant. ça ne veut pas nécessairement dire qu'il ya des entiers pour qui c'est vrai...d'où la nécessité d'avoir bien les deux étapes pour le raisonnement par récurrence.

Donc pour la a, Montre que quand P(n) est vraie, alors P(n+1) l'est aussi.

Encore une fois, on en dit pas que P(n) est vraie pour un entier donné.

Posté par
Azoks
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 14:26

Merci pour la réponse,
Je suppose donc qu'il n'y a pas d'initialisation à faire dans la question a, je dois donc prouver que P(n+1) est un multiple de 6 lorsque l'on suppose que P(n) l'est aussi ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 14:26

Bonjour,
il doit manquer des parenthèses c'est P(n) : "7^(n + 1) ?

Citation :
Je ne comprends pas comment montrer l'hérédité de la proposition


pour l'instant on ne te demande que de démontrer l'hérédité pas de montrer l'initialisation.

Donc tu dois montrer que si 7^(n + 1) est multiple de 6 donc = 6k
alors 7^(n+2) va l'être aussi. Pas très compliqué !
pars de 7^(n+2) et utilise ton hypothèse de récurrence.

Posté par
Foxdevil
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 15:12

Azoks @ 26-11-2021 à 14:26

Merci pour la réponse,
Je suppose donc qu'il n'y a pas d'initialisation à faire dans la question a, je dois donc prouver que P(n+1) est un multiple de 6 lorsque l'on suppose que P(n) l'est aussi ?
Oui, exactement

Attention: P(n) est la propriété, et pas l'entier en question dont on doit montrer qu'il est multiple de 6 .

Citation :
Bonjour,
il doit manquer des parenthèses  c'est P(n) : "7^(n + 1) ?
Moi je l'ai plutôt compris comme 7^n+1, ce qui est un tantinet plus intéressant...mais effectivement c'est à éclaircir

Posté par
Glapion Moderateur
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 16:03

le problème c'est que si c'est 7n+1 alors je ne pense pas que la proposition est héréditaire.

Posté par
carpediem
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 20:10

salut

et si c'est bien 7^n + 1 qui est héréditaire !!! (quasi évident)

alors que 7^{n + 1} n'est pas héréditaire (quasi évident !!!)


et on ne s'embêterait pas à mettre un n + 1 en exposant mais un n tout simplement ...

de plus avec 7^n ça n'a pas d'intérêt d'après la proposition : si a est multiple de b et b est multiple de c alors a est multiple de c ...

donc si un 7^n est multiple de 6 alors il en est de même pour tous les 7^n avec n plus grand que le premier ... (et nul besoin de récurrence)



PS : ce qui est écrit est évidemment très mal écrit : un nombre n'est pas héréditaire, une proposition oui ... ou non ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 20:44

ha bon OK alors, je vais voir comment Azoks le démontre alors.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 23:18

Bonjour,
On s'adresse à un élève dans cet échange.
Il vaut mieux éviter des "7^{n + 1} n'est pas héréditaire".
Même si les aidants comprennent ce qui est derrière, ça peut faire des salades dans la tête du demandeur.
Cela dit, à moi aussi l'hérédité ne me saute pas au yeux pour la proposition P(n) suivante : 1+7n est un multiple de 6.

Posté par
azerti75
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 26-11-21 à 23:34

Bonsoir,

Sylvieg, oui la proposition que tu as citée est bien héréditaire

Posté par
carpediem
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 27-11-21 à 08:52

Sylvieg :

carpediem @ 26-11-2021 à 20:10

PS : ce qui est écrit est évidemment très mal écrit : un nombre n'est pas héréditaire, une proposition oui ... ou non ...


PS : je l'ai édité cette fois ci en rouge et gras afin que Azoks se rende bien compte de l'idée derrière un écrit maladroit ...

et qu'il est important de ne pas confondre un nombre et une proposition

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 27-11-21 à 09:30

Le PS m'avait échappé.
Mais pourquoi ne pas avoir modifié le corps du message plutôt que mettre un PS à la fin, que certains distraits ne voient pas ?

Posté par
carpediem
re : montrer l'hérédité ou faire l'initialisation 27-11-21 à 09:59

parce que je n'y ai pas pensé !!! mais juste à mettre le mot proposition en gras !!



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