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montrer la suite d'une limite

Posté par
Amarouche1
15-03-21 à 16:35

Bonjour,
Je bloque sur la question 3) de cet exercice
on considere la suite (a_{n}) (1-tan(\frac{\pi }{7})^n et la suite : w_{n+1}=arctan(a_{n}+tan(w_{n})) et w_{0}=0 pour tout n de N
1) Montrer que w_{n}\in [0;\frac{\pi }{2}[
2)Etudier la montotonie de (Wn) puis deduire que (Wn) est convergente
3) Montrer que lim w_{n}=\frac{5\pi }{14}
pour 3) : je ne peux pas deduire la limite en resolvant l'equ : f(w_{n})=w_{n} car il y a autre suite dans la fonction c'est (a_{n})

Posté par
Zormuche
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 16:44

salut
drôle de titre

Oui, il y a une autre suite. Mais ça ne nous empêche pas d'écrire :

\lim_{n\to+\infty} w_{n+1}=\lim_{n\to +\infty} \arctan(a_n+\tan{w_n})

Posté par
Zormuche
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 16:45

et la limite de  (a_n)  se calcule facilement

Posté par
Amarouche1
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 16:50

Mais en calculant la limite que \lim_{n\to+\infty}%20w_{n+1}=\lim_{n\to%20+\infty}%20\arctan(a_n+\tan{w_n}) : j'ai la limite de (an) c'est 0 et apres ?

Posté par
Amarouche1
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 16:56

Zormuche @ 15-03-2021 à 16:44

salut
drôle de titre

Oui, il y a une autre suite. Mais ça ne nous empêche pas d'écrire :

\lim_{n\to+\infty} w_{n+1}=\lim_{n\to +\infty} \arctan(a_n+\tan{w_n})

Posté par
Amarouche1
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 17:30

Posté par
Zormuche
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 18:25

Alors comme (w_n) converge, on sait que  \lim w_n=\lim w_{n+1}

et à droite, on a  \lim ~\arctan(a_n+\tan{w_n})=\arctan(\lim ~a_n+\tan{w_n})  car la fonction arctan est continue
je te laisse continuer

Posté par
Amarouche1
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 19:03

est ce que je dois resoudre l'equation ou ??

Posté par
Zormuche
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 19:58

Oui, il y a une équation résoudre
mais comme la définition de w_n fait intervenir une autre suite, il faut revenir aux sources du calcul

quand une suite est définie de la façon  u_{n+1}=f(u_n) avec f continue et qu'on a montré que  u_n  converge vers L, alors on sait que la limite se trouve parmi les solutions de l'équation x=f(x)
cela est dû au fait qu'en passant à la limite, on a  \lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=f(\lim_{n\to +\infty} u_n)  donc L=f(L)

Posté par
Zormuche
re : montrer la suite d'une limite 15-03-21 à 20:03

une équation à* résoudre...

Posté par
alwafi
re : montrer la suite d'une limite 16-03-21 à 16:49

Bonjour,

indication pour 3):

remarquer que: pour tout  entier naturel  k  , tan(w_{k+1}) - tan(w_{k}) = a_{k}

en sommant les égalités obtenues en remplaçant  k  par 0,1 ,...,n-1 (pour  tout entier

naturel  n  non nul ) , tu peux déterminer w_{n} en fonction de n et

par suite  calculer la limite de w_{n}

Posté par
Amarouche1
re : montrer la suite d'une limite 19-03-21 à 22:54

Merci infiniment !

Posté par
alwafi
re : montrer la suite d'une limite 20-03-21 à 04:55

de rien



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