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Montrer qu'une fonction est bornée
Bonjour, je voudrais montrer que (1-x²)/(5+
(4+x²)) est bornée sur 
. Comment je peux faire ?
j'ai essayé avec le théoreme de rangement mais je peux que le faire en separant le numerateur avec le denominateur et je trouve 1-x²
1 et 5+(4+x²)
7.
Je ne connais pas ni les dérivées ni les limites.
Merci Pour ceux qui veulent bien m'aider
Slt.
Pour qu'une fonction soit bornée, il faut qu'elle soit majorée et minorée.
Or pour x --> +inf f(x) -->...
pour x --> -inf f(x) -->...
Bonjour,
Sauf erreur, la limite en +oo est -oo. La fonction ne semble donc pas bornée sur R.
Nicolas
Slt.
Exact.
f(x) --> -inf pour x --> +/- inf
Donc f(x) n'est pas minorée (ou minorée à -inf)
Par contre elle est majorée ...
Merci pour l'aide mais,j'ai trouvé qu'elle était majorée mais pas minoré en conjecturant avec la calculatrice. Comment je peux montrer alors qu'elle est majorée ?
Comme tu l'as fait dans ton premier message : en majorant le numérateur, et en minorant le dénominateur (par quelque chose de positif).
C'est du maniement d'inégalités, niveau collège.
5+V(4+x²) >= 7
Tous les membres sont strictement positifs. On peut prendre l'inverse membre à membre en changeant le sens de l'inégalité :
1/( 5+V(4+x²) ) =< 1/7
Puis on multiplie membre à membre avec l'autre, sachant que tous les membres sont positifs (pour le faire, on suppose que x est dans [-1;1]).
Pour x à l'extérieur de [-1;1], c'est encore plus simple, puisque la fraction est négative, donc =< 0, donc =< 1/7
Slt.
On peut raisonner ainsi :
pour x<0 f(x) décroît jusqu'à -inf
pour x>0 f(x) décroît jusqu'à -inf
donc f(x) est majorée pour x=0 :
f(0)=1/7
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