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Montrer que c'est un sous-espace vectoriel
Bonjour,
Soit F = {(x,y,z)
3|x - y + 5z=0 et x + y - 4z = 0}
Montrer que F est s-ev de 3.
- F 
3
- O3 F car :
(0,0,0) => 0 - 0 + 5*0 = 0 et 0 + 0 - 4*0 = 0.
- Soit (u,v) F2 et (
,
) 2
Montrons que u + v F.
Bon là je bloque un peu... Mais voilà ce que j'ai fais :
u + v = (u1 - u2 + 5u3) + (v1 - v2 + 5v3) = 0
=>
(u1 + v1) - (u2 + v2) + 5(u3 + v3) = 0
et :
u + v = (u1 + u2 - 4u3) + (v1 + v2 - 4v3) = 0
=>
(u1 + v1) + (u2 + v2) - 4(u3 + v3) = 0
Par identification on remarque que :
u + v F.
Merci !
Bonjour Damien,
A première vue, je ne comprends pas ce que tu as écrit.
Si et
alors : et
, et
et
et il est simple de montrer que tout de coordonnées (
vérifie
et
Bonjour Damien13008
Le sous-ensemble non vide F de R³ est un sous-espace vectoriel de R³ si et seulement si
1°) 
(x,y,z), (x',y',z') F, (x,y,z)+(x',y',z') F.
2°) (x,y,z) F, 
, (x,y,z) F.
C'est plus court..
1°) (x,y,z), (x',y',z') F
x - y + 5z = 0 et x' - y' + 5z' = 0
(x - y + 5z) + (x' - y' + 5z') = 0
(x+x') - (y+y') + 5(z+z') = 0
De même, on pourrait montrer que (x+x') + (y+y') - 4(z+z') = 0
Par conséquent, cela implique que (x+x',y+y',z+z') F
soit que (x,y,z) + (x',y',z') F.
Idem pour le 2°) 
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