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Montrer que {chx,shx} est libre ds A(IR)
Excusez moi de vous déranger j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct:
je pose a sh(x)+b ch(x)=0 (je cherche les valeurs de a et b qui donnent cela POUR TOUT X. <- c'est bien cela? )
ensuite je mouline arrive a exp(x)*(a+b)=exp(-x)*(a-b)
je dégage deux cas:
si a+b=0 alors a=-b et 0=exp(-x)(-2b) ssi b=0=a
si a+b
0 alors ln((a-b)/(a+b))=2x
on a d'un coté une constante et de l'autre un variable donc c'est impossible
donc a=b=0 donc la famille est libre
C'est bon?
Merci d'avance
Salut, c'est pas vraiment ça :
Il faut montrer que , en particulier en
, on a toute suite
et donc
car
n'est pas la fonction nulle sur
.
Remarque : aussi la famille est libre car tes deux vecteurs ne sont pas colinéaires et tout aussi rapide en faite !
Les vecteurs ch et sh sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes pour l'opérateur d^2/dx^2.
Justement moi non plus je ne pige pas non plus vraiment la remarque d'otto. étant un endomorphisme dans
, pour moi, on a bien
, alors...
sinon cette remarque on peut l'utiliser pour la famille (cos,sin) (belle remarque en effet)
cos est un vecteur propre associée à la valeur propre -1 pour cet opérateur
sin est un vecteur propre associé à la valeur propre 1
sin et cos éta,t des vecteurs propres pour des vap différentes, ils constituent une famille libre
C'est bien parce qu'ils sont associés à deux valeurs propres distinctes que le résultat fonctionne...
Mais ici ce qui est faux et ce sur quoi je suis passé un peu vite est que justement elles sont associées à la même valeur propre, c'est ça que tu as certainement voulu dire monrow.
Effectivement j'ai commis une erreur.
J'en fais beaucoup ces temps-ci ...
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