bonjour,

par definition les espaces engendres par u1 et u2 sont des sous espaces vectoriels

pour ta deuxieme question, je montrerais qu il existe a,b,c,d tels que

v1=a*u1+b*u2    et v2=c*u1+d*u2

Et je suppose qu'il faudrait aussi montrer la réciproque.

"J'ai appelé H l'ensemble engendré par u1 et u2, et F celle de v1 et v2."

-> En montrant alors que v1 et v2 appartiennent à H, ceci montre que F est contenu dans H...

Oui un sous-espace vectoriel angendré  par des vecteurs est bien un sous-espace vectoriel...

@cqfd67
Oui c'est ce que je pensais utiliser. Par contre, je ne comprends pas pourquoi on a besoin de le montrer, puisque le ss-ev engendré par deux vecteurs est l'ensemble  des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs.
Et ensuite, qu'est ce qu'on fait de ça? Est-ce que mon idée était bonne? (montrer que tout élément de l'un appartient à l'autre et vice vers ça)

si tu as montre que v1=a*u1+b*u2    et v2=c*u1+d*u2
alors tu auras que tout vecteur de <v1,v2> s ecrit:

Av1+Bv2=A(au1+bu2)+B(cu1+du2)=u1(Aa+Bc)+u2(Ab+Bd)
donc tout vecteur de <v1,v2>€<u1,u2>

pour montrer que ces deux espaces vectoriels sont egaux, je raisonnerais plutot avec les dimensions...

Je me disais que montrer que F est contenu dans H en même temps que H est contenu dans F, on dois prouver qu'il existe a, b, c ,d tels que:

2a +b = 3c +5d
3a-b= 7c
-a -2b = -2c -7d

4 inconnues trois équations, il y a donc une infinité de solutions pour le quatruplet (a,b,c,d)  (je ne sais pas comment on appelle ça )

Donc F = H

@cqfd67
Donc mon raisonnement n'est pas correct?

Oh je n'avais pas (assez) bien lu ton intervention cqfd. Je vais essayer de démontrer ce que tu me conseilles.

Letonio je ne comprends rien à ce que tu as fait.

"J'ai appelé H l'ensemble engendré par u1 et u2, et F celle de v1 et v2."

-> En montrant alors que v1 et v2 appartiennent à H (c'est-à-dire en montrant qu'il existe a,b,c,d tels que v1=a*u1+b*u2  et v2=c*u1+d*u2), ceci montre que F est contenu dans H.

Pour finir :

-soit tu montres  que H est contenu dans F :
tu fais la même chose en inversant le rôle de v_1, v_2 et u_1, u_2

- soit, après l'avoir justifié, tu dis que F et H sont de dimension deux ce qui te permet de conclure que F=H

je ne voit pas en quoi ton systeme pourrait repondre a la question (il ya d ailleur une faute a la deuxieme ligne non?)

( j ai sans doute pas compris ce que tu veux faire....)

cool. Ca y est je crois avoir compris. J'essaie de rédiger dans deux minutes.

J'essaie de rédiger au propre.

On veut montrer qu'il existe a et b deux scalaires de IK tels que
v1= a.u1 + b.v2

2a +b =3
3a -b =7
-a -2b =0

d'où
a=2
b= -1

donc   v1 = 2.u1 -u2

On montre ensuite qu'il existe c et d deux scalaire de IK tels que
v2 = c.u1 + d.u2

2c +d= 5
3c -d =0
-c -2d= -7

d'où
c=1
d= 3

donc   v2= u1 + 3.u2

Soient A et B deux scalaires de IK, on a
Av1 + Bv2 appartient à F
Or
A.v1 + B.v2= A.( 2.u1 -u2) + B.(u1 +3.u2)= u1 (2A +B) + u2 (3B -A)

Donc tout vecteur de F appartient à H, et réciproquement, tout vecteur de H appartient à F.

Est-ce que c'est correct?

pour moi la fin est un peu rapide et réciproquement, tout vecteur de H appartient à F c est pas un peu trop rapide?

d accord c est presque les meme calculs mais ca me semblent rapide...mais l essentiel est que tu aies compris

Je me demande si mes réponses sont invisibles :

"[...] ceci montre que F est contenu dans H.

Pour finir :

-soit tu montres  que H est contenu dans F :
tu fais la même chose en inversant le rôle de v_1, v_2 et u_1, u_2

- soit, après l'avoir justifié, tu dis que F et H sont de dimension deux ce qui te permet de conclure que F=H

@stokastik  Je me demande si mes réponses sont invisibles
J'avais bien compris la nuance. Et bien lu ton intervention
Mais bon c'est pas toujours évident d'en tirer les bonnes conclusions.

Je comprends pourquoi c'est un peu rapide, et que je dois faire le même chemin en partant de l'autre ss-ev.
Par contre,  je ne comprends pas pourquoi dire que F et H sont de dimension deux ce qui te permet de conclure que F=H prouve la réciproque.
Peux-tu m'expliquer cela?

Une fois que tu as montré que v_1 et v_2 appartiennent à H, il est inutile de faire ce que tu as fait :

"Soient A et B deux scalaires de IK, on a
Av1 + Bv2 appartient à F
Or
A.v1 + B.v2= A.( 2.u1 -u2) + B.(u1 +3.u2)= u1 (2A +B) + u2 (3B -A)

Donc tout vecteur de F appartient à H" (en plus le début est ma rédigé)

Inutile car d'après ton cours, tu sais que si des vecteurs appartiennent à un sous-espace-vectoriel H, alors le sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs est contenu dans H.

"je ne comprends pas pourquoi dire que F et H sont de dimension deux ce qui te permet de conclure que F=H "

Si F est contenu dans H et si F et H ont la même dimension alors F=H, c'est du cours (ceci dit ce serait bien que tu comprennes la démonstration de ce résultat si tu fais des études de maths)

Bon un peu plus court :

tu as prouvé que  F  est dans  H .

Si tu montres que la dimension de  F  est 2 alors ,
tu auras  2 = dim F =< dim H
MAIS  H  est engendré par 2 vecteurs donc sa dimension est =< 2 , d'où dim H = 2 et  F = H car toute famille génératrice à 2 éléments est alors une base.
En résumé la seule chose à faire c'est dim F = 2.

lolo

On commence juste sur les espaces vectoriels. Je n'ai pas encore les idées très claires, mais je ne crois pas avoir encore vu le théorème (et sa démonstration) auquel tu fais allusion.
Je me replonge dans mon cours, maintenant que vous avez éclairci certains points obscurs...

Fait général (qui devrait être dans tout bon cours sur les espaces vectoriels):

FAIT : Soit  F  contenu dans  G  deux sous-espaces vectoriels d'un même espace . Alors  F = G  si et seulement si  dim F = dim G .

Remarque : contrairement aux égalités d'ensemble "ordinaire" où l'églité se montre par double inclusion, pour les espaces vectoriels une seule inclusion suffit quand les dimensions sont identiques.

preuve détaillée du FAIT : soit  e1,...,ek  une base de F alors cette base est constituée d'éléments de G (car  F  est dans G) formant un système libre et maximal dans G (car dim G = dim F=k) donc c'est une base de G. Donc tout élément de G  est combinaison d'éléments de F c'est à dire est dans  F .


lolo

Bonjour;

Ici on a : on calcule et puis
alors

Sauf erreurs bien entendu