Bonjour à tous, je suis nouveau sur le site et c'est mon premier problème. J'ai un exo à faire et je l'ai démarrer mais je bloque sur une partie. Voici l'exo:
Soit f une application d'un ensemble E vers un ensemble F. On suppose que f admet une unique application inverse à droite, i.e qu'il existe une unique application g de F vers E telle que f o g=Id(F). Montrer que f est bijective.
Je pense qu'il s'agit donc de montrer que f est à la fois surjective et injective. J'ai donc réussi a montrer que f était surjective en disant que Id(F) est bijective donc surjective donc f o g est surjective. Or on sait que f o g--> f surjective. Voilà maintenant il me reste à montrer que f est injective et je bloque. L'exercice classique aurait été de nous donner g o f= Id (E) dans les hypothèses mais ce petit filou de prof a pensé qu'ont pouvait le démontrer sans cette donnée .
J'ai pensez à une solution mais je n'en suis pas sur.
Nous avons montrer que que f est surjective et donc que pour chaque y une image elle est associé par f à au moins un antécédent. Montrer qu'elle est par ailleurs injective et donc bijective c'est montrer que cet antécédent est unique.
Considérons donc que y admet deux antécédent par f qui sont a et b (ils pourraient y en avoir plus).
<--> f(a)=y et f(b)=y
<--> f(a)=f(b)
et c'est la que c'est bizarre je sais pas du tout si on a le droit de faire ça:
je compose à droite par g on a donc
f o g(a)= f o g(b)
or f o g=Id(F) d'apres l'énoncé donc
a=b.
Considérer qu'il y a plusieurs antécédent revient donc à dire que ces antécédents sont égaux.
Je pense pas qu'ont ait le droit de composer à droite, qu'en entez vous? Si non avez vous une idée de solution?
Merci d'avance.
g est unique d'après l'énoncé mais je ne vois pas pourquoi elle est surjective? Par ailleurs il faut montrer que f est injective je ne vois pas le lien avec les fais que g soit surjective......
Ben attend. D'abord:
*si g n'est pas surjective, alors il existe x0 dans E tel que quelque soit y dans F, g(y)x0
Or si f o g=IDF alors quelque soit y appartenant à F, f o g (y)=y
Soit y0=f(x0).
Alors f o g (y0)=y0
Soit x1=g(y0) (car g(y0) ne peut pas être égal à x0 vu la définition de x0).
Alors on pourrait construire g2 de F dans telle que g2(y)=g(y) quel que soit y dans F privé de y0 et: g2(y0)=x0.
On aurait bien f o g2=IDF
Donc g ne serait pas unique.
Donc g est surjective.
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