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Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel

Posté par
dream7416 10-09-11 à 15:55

Bonjour,

Je suis en école d'ingé chimie et suis le programme de maths de PC.

Je dois montrer que R3 est un K-espace vectoriel.

Mon prof me demande juste de démontrer les 3 derniers points à savoir la distributivité de "." par rapport à + dans K, et l'associativité de la loi "." ainsi que l'axiome de la multiplication par 1.

J'ai commencé à écrire :

Pour tout (, ) appartenant à K2 et pour tout u appartenant à R3 on a :
(+).u = (+). (x1,y1,z1)
                                    = .(x1,y1,z1)+ .(x1,y1,z1)   car + est distributive
                                    =.u + .u

Ca me parait un peu trop facile, et c'est pour cela que j'ai besoin d'un peu d'aide, merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 10-09-11 à 16:01

Bonjour

Il manque juste l'endroit ou on voit vraiment ce qui se passe!

(\lambda+\mu).u=(\lambda+\mu)(x,y,z)=
\red ((\lambda+\mu)x,(\lambda+\mu)y,(\lambda+\mu)z)=(\lambda x+\mu x,\lambda y+\mu y,\lambda z+\mu z)=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)+(\mu x,\mu y,\mu z)=
\lambda(x,y,z)+\mu(x,y,z)=\lambda u+\mu u

Un exo de ce type, demande un vrai décorticage complet!

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 10-09-11 à 20:03

Merci beaucoup ! J'ai souvent du mal à décortiquer tout me parait évident !

J'avais fais un exo du meme type en cours, mais je n'étais pas sur.

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 10-09-11 à 20:12

Ensuite pour l'associativité de la loi "." j'ai écris :

Pour tout (,) appartenant à K2 et pour tout u appartenant à R3,

(*). u = (*). (x,y,z)
             = (*x, *y, *z)
             = . (x,y,z)
             = .(.u)

Est-ce juste ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 14:43

Oui, c'est juste, mais à nouveau tu loupes juste l'endroit stratégique! Intercale

(\lambda*\mu x,\lambda*\mu y,\lambda*\mu z)=(\lambda*(\mu x),\lambda*(\mu y),\lambda*(\mu z))=...

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:12

Je comprends pas l'intérêt des parenthèses ici ? :/

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:16

Ca marche parce que dans R on a (a(b(c))=(ab)c. Il faut à chaque fois montrer quelle propriété de R on utilise.

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:19

J'arrive pas à comprendre vraiment, ici cela serait quelle propriété de R ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:25

Celle que je viens d'écrire... L'associativité de la multiplication!

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:28

Ah !! Oui je vois, c'est bon j'ai compris.

Il y a autre chose que je ne comprend pas, la loi "." est elle considéré comme la multiplication ou est-ce une loi à part ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:35

La loi . est ici une loi externe. A un couple formé d'un scalaire et d'un vecteur, elle fait correspondre un vecteur.

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:42

Pourquoi utilise t-on dans les calculs un coup "x" et un coup "."  ?
Je viens juste de commencer le cours sur les espaces vectoriels donc tout n'est pas encore très clair...
Je comprends pas bien également la notion de vecteur et de scalaire ici.

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:44

Que vient en fait faire le produit scalaire ici ? car ce n'est pas du tout pareil que la multiplication

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:49

Je n'ai pas parlé de produit scalaire, mais d'UN SCALAIRE. Quand on a un espace vectoriel sur un corps, les éléments de l'espace vectoriel sont les vecteurs et ceux du corps les scalaires.

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 15:58

Voilà l'information qui me manquait. En tout cas merci de m'expliquer.

Mais dans le cas précédent, pourquoi peut-on écrire : (*). (x,y,z)
             = (*x, *y, *z) ?

Pourquoi a-t-on le droit de distribuer les scalaires sur le vecteur u ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 16:09

C'est ça la DEFINITION de la loi "."

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 16:12

D'accord !!! Je comprends mieux maintenant.

Donc quand on parle d'une loi externe, elle est distributive d'un scalaire sur un vecteur?  
A-t-elle d'autres propriétés?

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 16:19

Ca dépend... Dans le cas d'un espace vectoriel c'est imposé par les axiomes de définition.

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 16:21

Tout est beaucoup plus clair, merci beaucoup !

Concernant le 3e point que je n'ai pas démontré, à savoir l'axiome de la multiplication par 1 pour R3 je ne sais pas du tout comment m'y prendre...
Pour moi la multiplication par 1 dans R3 est plutôt triviale... ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 16:31

Rien n'est trivial... il faut montrer que c'est cohérent. On sait que 1* x=x pour tout x dans R. Alors

1.(x,y,z)=(1*x,1*y,1*z)=(x,y,z)

Posté par
dream7416re : Montrer que R[sup]3[/sup] est un espace vectoriel 11-09-11 à 16:34

D'accord, je pensais que écrire le détail semblait trop simple mais en fait on doit quand même l'écrire...

Bah en tout cas merci vraiment pour tout, je comprends mieux mon cours et la notion de loi de composition externe.
Le manque d'exemple handicapait un peu.


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