Niveau terminale

Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1]

Posté par
athrun 16-12-09 à 21:09

Bonsoir, je suis bloqué à la PREMIERE question de cet exercice

Citation :
On se propose d'étudier l'existence et les propriétés de la suite $2$(u_n)$ définie par la donnée d'un réel $2$u_0$ et la relation pour tout $2$n$ de $2$\mathbb{N}$ :

$3$u_{n+1}=\sqrt{\frac{1-u_n}{2}}$

1.a. Montrer que la suite $2$(u_n)$ existe si, et seulement si $2$u_0\in[-1;1]$

Je n'arrive même pas à faire la première question -_-

Voici les conditions que j'ai trouvées pour que $2$(u_n)$ soit définie :

$4$\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ u_0\leq1 \\ \\ \\ \\ \sqrt{\frac{1-u_0}{2}}\leq1 \\ \end{array} \\ \right.$

Et voici mes justifications :

En considérant $3$u_1=\sqrt{\frac{1-u_0}{2}}$ , il faut premièrement que $2$\fbox{u_0\leq1}$

De plus en considérant $3$u_2=\sqrt{\frac{1-u_1}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1-u_0}{2}}}{2}}$ il faut que $2$\fbox{\sqrt{\frac{1-u_0}{2}}\leq1}$ c'est-à-dire $2$\fbox{u_0\geq-1}$

D'où, pour le moment, en ne considérant que $2$u_1$ et $2$u_2$ , $2$u_0\in[-1;1]$

Alors que faut-il que je fasse pour prouve ce résultat pour tout $2$n$ de $2$\mathbb{N}$ ?

J'avais pensé à ça :

$2$u_{n+1}=\sqrt{\frac{1-u_n}{2}}$ existe seulement si $2$u_n\leq1$
$2$u_{n+2}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1-u_n}{2}}}{2}}$ existe si et seulement si $2$u_n\geq-1$

d'où $2$(u_n)$ existe si et seulement si $2$u_n\in[-1;1]$ ... mais je sens que ça ne va pas

merci de votre aide

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 21:44

bonjour,
$\rm U_{n+1}=\fr{1}{\sqrt{2}}\time \sqrt{1-U_n} et \\ on doit avoir 0\leq U_{n+1}\leq 1 pour que U_{n+2} soit defini$
$0\leq \fr{1}{\sqrt{2}}\time \sqrt{1-U_n}\leq 1 \\ 0 \leq \sqrt{1-U_n}\leq \sqrt{2}$
$\rm 0 \leq 1-U_n\leq 2 \\ 0 \leq 1-U_n \\ U_n\leq 1 \\ 1-U_n\leq 2 \\ -1\leq U_n \\ -1\leq U_n\leq 1 \\ et en particulier U_0$

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 21:49

Bonsoir Labo,

grand merci à vous !

pas besoin de faire de récurrence finalement ?

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 21:55

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 22:13

Désolé de vous embpeter mais j'ai une petite question encore qui subsiste :

ça marche pour tout n de IN ça ?

je veux dire pour $u_{n+3}$ , $u_{n+4}$ ... ?

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 22:28

c'est valable pour tout n appartenant à

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 22:31

Bien merci beaucoup !

C'est sûrement évident mais je suis un peu à côté des choses ce soir.

Enfin, vraiment merci cette question m'embêtait vraiment ^^

Bonne soirée

Posté par re : Montrer que (Un) existe ssi U0 dans [-1;1] 16-12-09 à 22:36

bonne soirée,

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