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Montrer une égalité avec une fonction exponentielle

Posté par
mami04
04-12-16 à 11:45

Salut !

J'ai un problème pour résoudre une égalité :
J'ai f(x)=x^2*e^(x-1)-x^2/2 et g(x)= (x+2)e^(x-1)-1
Sachant que g'(x) est positive, que g(x) est croissante et que l'équation g(x)=0 a une seule solution alpha dans R comprise entre 0.20 et 0.21.
f'(x) est positif.
J'en ai déduit le sens de variation de f(x) qui est donc croissant.

Il faut montrer que f(alpha)=(-alpha^3)/2(alpha+2)
J'ai donc remplacé x par alpha dans la fonction f. Mais je suis coincé car je ne sais pas quoi faire de e^(x-1)

Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance

Posté par
Jedoniezh
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 11:47

Bonjour,

ça ==> f(x)=x^2*e^(x-1)-x^2/2

ou ça ==> f(x)=(x^2*e^(x-1)-x^2)/2

?

Posté par
mami04
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 11:50

Il s'agit bien de f(x)=x^2*e^(x-1)-(x^2)/2

Posté par
Jedoniezh
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 11:53

Ok.
Tu est bien certaine de nous donner l'intégralité de ton énoncé ?

Posté par
mami04
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:15

Il me semble que oui. Mais il est possible que je me sois trompée pour quelques données car j'aurais pu me tromper lors des démonstrations. L'énoncé que j'ai donné et en fait les réponses de nombreuses questions avant celle-ci.
Il fallait :
- calculer f'(x) ;
- calculer les limites de g(x) en + l'infini et - l'infini ;
- calculer g'(x) et donner son signe suivant les valeurs de x ;
- en déduire le sens de variation de g(x) ;
- montrer que g(x)=0 admet une seule solution alpha dans R et montrer que 0.20<alpha<0.21
- déterminer le signe de g(x)
- étudier le signe de f'(x) calculer précédemment ;
- en déduire le sens de variation de f ;
- puis, montrer que f(alpha)=(-alpha^3)/(2(alpha+2))

Posté par
Jedoniezh
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:24

Ok.

Écris tout simplement dans un premier temps ton expression f(\alpha)

Posté par
fenamat84
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:25

Bonjour,

Si je comprends bien l'énoncé, on a donc les 2 fonctions :

f(x)=x²e^{x-1}-\frac{x²}{2} et g(x)=(x+2)e^{x-1}-1.

Tu as déjà démontré que l'équation g(x)=0 a une seule solution alpha dans R.

Donc : g(\alpha)=0. Ainsi :
g(\alpha)=(\alpha+2)e^{\alpha-1}-1=0 <=> e^{\alpha-1}=\frac{1}{\alpha+2}.

Puis, tu dois réinjecter ceci dans l'expression de f() pour arriver au résultat souhaité.

Posté par
Jedoniezh
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:32

f(x)=x^2\text{e}^{(x-1)}-\dfrac{x^2}{2} \Rightarrow f(\alpha )=\alpha ^2\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{\alpha^2}{2}=\alpha ^2\left[\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{1}{2} \right]=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{\alpha +2}{2} \right]
\\\\
=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{2}{2}-\dfrac{\alpha}{2} \right]
\\\\
=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[\underbrace{(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-1}_{=g(\alpha )=0}-\dfrac{\alpha}{2} \right]
\\\\
=\dfrac{\alpha ^3}{2(\alpha +2)}

Posté par
Jedoniezh
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:32

f(x)=x^2\text{e}^{(x-1)}-\dfrac{x^2}{2} \Rightarrow f(\alpha )=\alpha ^2\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{\alpha^2}{2}=\alpha ^2\left[\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{1}{2} \right]=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{\alpha +2}{2} \right] \\\\ =\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{2}{2}-\dfrac{\alpha}{2} \right] \\\\ =\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[\underbrace{(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-1}_{=g(\alpha )=0}-\dfrac{\alpha}{2} \right] \\\\ =\dfrac{\alpha ^3}{2(\alpha +2)}

Posté par
mami04
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:36

D'accord, j'ai compris !
Merci beaucoup !

Posté par
fenamat84
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:42

Rectification : c'est -\alpha^3... (il y a un signe "-" devant \frac{\alpha}{2}).

D'où le résultat...

Sinon, on pouvait directement écrire :

f(\alpha)=\alpha²e^{\alpha-1}-\frac{\alpha²}{2}
=\frac{\alpha²}{\alpha+2}-\frac{\alpha²}{2}}
...

Puis réduction au même dénominateur et c'est terminé...

Posté par
Jedoniezh
re : Montrer une égalité avec une fonction exponentielle 04-12-16 à 12:42

Au plaisir.



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