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Montrer une égalité avec une fonction exponentielle
Salut !
J'ai un problème pour résoudre une égalité :
J'ai f(x)=x^2*e^(x-1)-x^2/2 et g(x)= (x+2)e^(x-1)-1
Sachant que g'(x) est positive, que g(x) est croissante et que l'équation g(x)=0 a une seule solution alpha dans R comprise entre 0.20 et 0.21.
f'(x) est positif.
J'en ai déduit le sens de variation de f(x) qui est donc croissant.
Il faut montrer que f(alpha)=(-alpha^3)/2(alpha+2)
J'ai donc remplacé x par alpha dans la fonction f. Mais je suis coincé car je ne sais pas quoi faire de e^(x-1)
Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance 
Il me semble que oui. Mais il est possible que je me sois trompée pour quelques données car j'aurais pu me tromper lors des démonstrations. L'énoncé que j'ai donné et en fait les réponses de nombreuses questions avant celle-ci.
Il fallait :
- calculer f'(x) ;
- calculer les limites de g(x) en + l'infini et - l'infini ;
- calculer g'(x) et donner son signe suivant les valeurs de x ;
- en déduire le sens de variation de g(x) ;
- montrer que g(x)=0 admet une seule solution alpha dans R et montrer que 0.20<alpha<0.21
- déterminer le signe de g(x)
- étudier le signe de f'(x) calculer précédemment ;
- en déduire le sens de variation de f ;
- puis, montrer que f(alpha)=(-alpha^3)/(2(alpha+2))
Bonjour,
Si je comprends bien l'énoncé, on a donc les 2 fonctions :
et
.
Tu as déjà démontré que l'équation g(x)=0 a une seule solution alpha dans R.
Donc : . Ainsi :
<=>
.
Puis, tu dois réinjecter ceci dans l'expression de f(
) pour arriver au résultat souhaité.
f(x)=x^2\text{e}^{(x-1)}-\dfrac{x^2}{2} \Rightarrow f(\alpha )=\alpha ^2\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{\alpha^2}{2}=\alpha ^2\left[\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{1}{2} \right]=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{\alpha +2}{2} \right]
\\\\
=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-\dfrac{2}{2}-\dfrac{\alpha}{2} \right]
\\\\
=\dfrac{\alpha ^2}{\alpha +2}\left[\underbrace{(\alpha +2)\text{e}^{(\alpha -1)}-1}_{=g(\alpha )=0}-\dfrac{\alpha}{2} \right]
\\\\
=\dfrac{\alpha ^3}{2(\alpha +2)}
Rectification : c'est ... (il y a un signe "-" devant
).
D'où le résultat...
Sinon, on pouvait directement écrire :
...
Puis réduction au même dénominateur et c'est terminé...
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