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montrer une inégalité

Posté par
aya4545 03-09-22 à 11:47

bonjour
prière m orienter pour faire cet exercice
\forall i \in [|1 n|] x_i>=1 montrer
\sum _{i=1}^{i=n}x_i <= n-1 +\prod_{i=1}^{i=n}x_i



pour n=2 c est facile a faire
il  ya égalité  si tous les x_i=1 et  merci

Posté par
alfpfeure : montrer une inégalité 03-09-22 à 12:11

Bonjour,

As-tu cherché  à le démontrer par récurrence?

Merci

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 03-09-22 à 20:04

bonsoir
mercialfpfeu
l initialisation facile
\sum _{i=1}^{i=n+1}x_i = \sum _{i=1}^{i=n}x_i +x_{n+1} \leq  n-1 +\prod_{i=1}^{i=n}x_i  +x_{n+1} \leq  n+\prod_{i=1}^{i=n+1}x_i

Posté par
carpediemre : montrer une inégalité 03-09-22 à 22:08

il faut quand même détailler*expliciter la justification de la dernière inégalité !

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 03-09-22 à 22:32

bonsoir
dans la dernière  inégalité  j ai utilisé la propriété pour les deux réels

  \prod _{i=1}^{i=n}x_i    et  x_{n+1}
et merci carpediem

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : montrer une inégalité 04-09-22 à 02:07

Bonsoir


Si on veut éviter la récurrence on pourra remarquer que lorsqu'on développe le produit


\Large\boxed{\prod_{i=1}^n(1+\varepsilon_i)} pour \varepsilon_i des réels positifs, on constate que les deux termes 1 et \sum_{i=1}^n\varepsilon_i figurent parmi les termes de ce développement


constatation d'où l'on tire l'inégalité \Large\boxed{1+\sum_{i=1}^n\varepsilon_i\leqslant\prod_{i=1}^n(1+\varepsilon_i)} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 12:53

bonjour
merci  elhor_abdelali
c est une idée superbe mais

1+\sum_{i=1}^n \varepsilon_i\leqslant\prod_{i=1}^n(1+\varepsilon_i) mais

\prod_{i=1}^n(1+\varepsilon_i)\geq n+\prod _{i=1}^n(\varepsilon_i)}

Posté par
Ulmierere : montrer une inégalité 04-09-22 à 13:21

Si tu notes \varepsilon_i = x_i-1, de quel signe est \varepsilon_i ?
Ensuite, il ne reste qu'à écrire l'inégalité que t'a fournie elhor_abdelali

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 14:06

bonjour
les x_i \geq 1 \implies \epsilon _i\geq 0
1+\sum_{i=1}^n\varepsilon_i\leqslant\prod_{i=1}^n(1+\varepsilon_i) \implies  1+\sum_{i=1}^n (x_i-1)\leqslant\prod_{i=1}^n x_i
donc 1+\sum_{i=1}^n x_i-   n \leqslant\prod_{i=1}^n x_i

donc \sum_{i=1}^n x_i\leqslant\prod_{i=1}^n x_i  +n-1
merci     alfpfeu        carpediem   elhor_abdelali  et Ulmiere

Posté par
carpediemre : montrer une inégalité 04-09-22 à 14:30

aya4545 @ 03-09-2022 à 20:04

\sum _{i=1}^{i=n+1}x_i = \sum _{i=1}^{i=n}x_i +x_{n+1} \leq  n-1 +\prod_{i=1}^{i=n}x_i  +x_{n+1} \leq  n+\prod_{i=1}^{i=n+1}x_i

carpediem @ 03-09-2022 à 22:08

il faut quand même détailler / expliciter la justification de la dernière inégalité !

x_{n + 1} \ge 1 $ donc $ n - 1 + x_{n + 1} \ge n - 1 + 1 = n   et on voit qu'il y a un pb puisqu'il nous faudrait l'inégalité dans l'autre sens !!

1 \le x_{n + 1} donc il suffit de multiplier les deux membres de cette inégalité par \prod_1^n x_k qui est positif     et là il n'y a pas de pb !

donc pour le faire par récurrence il va falloir fournir un effort supplémentaire ... mais l'idée est celle utilisée par elhor_abdelali : xi x > 1 1 alors x = 1 + e avec e > 0


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