Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Morphisme d'algèbre

Posté par
karim 17-02-07 à 20:21

Bonsoir,
je voudrais savoir la définition d'un morphisme d'algèbre
Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:05

Bonsoir

Soient \Large{(A,+,\rm{* },.)} et \Large{(B,+,\rm{* },.)} deux algèbres sur un corps \Large{\mathbb{K}} et f une application de A dans B.
alors f est un morphisme d'algèbre si :

1) \Large{\forall (x,y)\in A^{2},\rm{ }f(x+y)=f(x)+f(y)}
2) \Large{\forall (x,y)\in A^{2},\rm{ }f(x*y)=f(x)*f(y)}
3) \Large{\forall (\lambda,x)\in \mathbb{K}\times A,\rm{ }f(\lambda.x)=\lambda.f(x)}
4) \Large{f(1_{A})=1_{B}}

En d'autres termes, f est un morphisme d'algèbres si et seulement si f est une application linéaire, (A et B étant vus comme des \Large{\mathbb{K}}-espaces vectoriels) et si f est un morphisme d'anneaux (A et B étant vus comme des anneaux).

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:23

Kaiser j'ai une question sèche a proposer! j'en vois pas la solution!

Soit X un ensemble non vide, et A = C^X (C l'ensemble des complexes), la C-algèbre des applications de X dans C. On note H l'ensemble des formes linéaires Phi sur A telles que pour tout (f,g) appartenant A², Phi(fg) = Phi(f)* Phi(g).
1/ Montrer que Phi est une C algèbre.Si f appartient A ne s'annule pas sur X, alors Phi(f) différent de 0. Montrer que pour tout f appartient à A, Phi(f) appartient f(X)
2/ Quand X est fini préciser les éléments de H.
Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:27

Pour la 1), ça serait pas plutôt H dont il faut montrer que c'est une \Large{\mathbb{C}}-algèbre ?

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:28

j'ai oublié le mot
morphisme de C algèbre

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:28

d'ou ma première question

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:35

ah OK !
En fait, on prend un élément \Large{\varphi} de H et on te demande de montrer que c'est un morphisme d'algèbre ? c'est bien ça ?

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:42

tout à fait ! mais c'est bon ça j'ai réussis!

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 21:48

Tu as montré que H est bien une \Large{\mathbb{C}}-algèbre ?

Sinon, pour la suite, si f ne s'annule pas, alors écrire \Large{\frac{1}{f}} a bien un sens.

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:02

oui oui je sais, j'ai plutot montrer que Phi est un morphisme d'algèbre
il suffit de montrer que Phi(1A) = 1 ...
Mais pour la deuxième question !! c'est chaud !

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:04

Tu as fait toute la question 1 ?

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:14

oui oui pourquoi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:15

Comment as-tu montré que \Large{\varphi(f)\in f(X)} ?

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:35

Phi(f) = Phi(f)* Phi(1A) = Phi(Phi(f)*1A), Donc par linéarité de Phi on obtient:
Phi(f-Phi(f)*1A) = 0 donc f-Phi(f)*1a s'annule sur X, Par contraposée de ce qui précède, Phi(f) appartient à f(X)

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:44

Je n'arrive pas vraiment à voir comment tu conclues.

Kaiser

Posté par
karimre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:48

f-Phi(f)*1A s'annule sur X.
Il existe x tel que f(x) = Phi(f)(x). On a montré que si f ne s'annule pas sur X alors Phi(f) différent de 0. On peut donc conclure non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Morphisme d'algèbre 17-02-07 à 22:51

D'abord, écrire \Large{\varphi(f)(x)} n'a pas de sens car \Large{\varphi(f)} est complexe.
De plus, cela est vrai uniquement pour un seul x.

Kaiser


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !