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morphisme de groupe
Bonsoir. Voici l'énoncé d'un exercice sur les groupes.
Soit G un groupe et e son élément neutre.
1) Montrer que si l'application de G dans G définie par x
x-1 est un homomorphisme de groupe alors g est abélien. Soit g un automorphisme de grupe de G tel que g²=id. On suppose que e est le seul élément fixé par g.
2) Montrer que l'application f de G dans G définie par f(a)=g(a-1)a est injective.
3) Si G est fini, en déduire que G est abélien et d'ordre impair.
Ce que j'ai fait (je rédige pas je mets juste les calculs):
1)e=xyx-1y-1 (car on suppose morphisme) d'où: y=xyx-1 puis yx=xy
2)g(a-1)a=g(b-1)b d'où: g(a)-1ab-1=g(b-1) d'où: ab-1=g(ab-1) (car g morphisme) et comme Fix(g)={e} on a ab-1=e donc a=b.
Voila j'ai réussi je pense les questions 1 et 2 mais je ne vois pas de lien avec la question 3. J'ai l'impression que l'énoncé est rès mal posé car on se sait pas trop qu'elles sont les hypothèses pour la question 3.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir,
Les hypothèses sont l'existence de g automorphisme...
Ensuite il faut dénombrer les éléments de G de façon à avoir le neutre + des paquets de 2 .
Ok bon alors maintenant je suis fixé pour les hypothèses. Mais je vois pas le lien avec la question 1. Comment à partir de g et de f on peut montrer que c'est abélien et fini d'ordre impair ? Franchement j'ai du mal avec ça.
Bon pour le début : comme f est injective, elle est bijective !
Donc si et y sont dans G , x = g(a^-1)a et y = g(b^-1)b d'une seule manière, tu en déduis que x--> x^-1 est un morphisme...
Merci en fait je n'avais pas pensé à écrire les éléments de g comme des éléments de la forme: g(a-1)a.
Mais je dois être nul c'est que du calcul mais je n'arrive pas à montrer que la fonction inverse est un morphisme.
x = g(a-1)a et y = g(b-1)b , donc x-1 y-1 = ( g(a-1)a g(b-1)b )-1
l'inverse d'un produit étant le produit des inverses dans l'autre sens ça fait ....
dans l'égalité ci dessus j'ai voulu écrire (xy)-1 pour débuter ..ensuite on montre que c'est effectivement le produit des inverses
hum oui c'est comme ça que j'avais commencé: j'arrivais à: (xy)-1=b-1g(b)(b)a-1g(a) (ie y-1x-1) donc je n'ai rien fait. Et j'arrive pas à avancer.
Bon alors je vois rien (sauf si les hypothèses incluent qu'on a déjà un morphisme ...auquel cas la dernière question c'est juste pour l'imparité) effectivement mal posé.
Pour l'imparité : sur G tu as la relation x R y ssi x= y ou x = g(y)
c'est une relation d'équivalence.
G est union disjointe des classes d'équivalences .....ça devrait marcher.
Je pense que l'énoncé est mal posé et que on a déjà un morphisme. Bref, en tout les cas je vois pas comment montrer l'ordre du groupe.
Pour tout x
G on a: Cl(x)={x,g(x)}. Comme Fix{g}={e} alors |Cl(e)|=1 et pour tout x différent de e on a: |Cl(x)|=2. Comme G est fini on a une réunion disjointe fini (G/R forme une partition de G) donc le cardinal de G c'est la somme des cardinaux et on obtient un nombre impaire.
Merci de m'avoir aidé. Mais l'énoncé est très mal posé parce que finalement on ne se sert jamais de la question 2.
Peut etre que à partir de g on peut obtenir le morphisme désiré en continuant les calculs de tout à l'heure. On bidouille etc après ça se trouve il y a une astuce de calcul tout bete qu'on a pas vu.
Sinon juste une question comment tu as pensé à introduire cette relation d'équivalence ? Parce que franchement certes ça m'a débloqué mais je n'aurais jamais pensé à ça.
Pour la relation d'équivalence : c'est un moyen classique de dénombrer des ensembles et comme on dit qu'il y a un seul point fixe , il fallait une classe d'équivalence avec un seul élément..qui fasse intervenir g donc voilà .
Il y a un exercice quasi-similaire qui dit ceci : Si G est un groupe fini tel que tout élément est d'ordre 2, montrez que G est commutatif et que son cardinal est une puissance de 2 .
La première étape ressemble à l'hypothèse g2=1 mais le début de cet exercice est plus facile , donc oui une astuce est possible.
Hum j'ai pas compris la fin de ton message.
Je connais la solution de cet exercice: "Si G est un groupe fini tel que tout élément est d'ordre 2" mais pas la suite.
Je ne vois pas comment définir une fonction et une classe d'équivalence pour répondre à cette question. Désolé mais je n'ai pas l'habitude de manipuler ce genre de choses.
Quand tu dis une astuce est possible tu parles pour montrer le morphisme de la question 3 de l'exercice ?
Oui l'astuce (éventuelle) c'est pour ton exercice , qui reste à trouver .
Je voyais juste une analogie entre x2=e pour tout x de G et l'hypothèse g bijective telle que g2=I
Ok bon personnellement chercher l'astuce de calcul ne m'interesse pa plus que ça. c'est pas le plus important de l'exercice ni le plus passionnant. Bref merci en tout cas de m'avoir aidé.
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