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Morphisme entre groupes d'applications

Posté par
Serbiwni 28-11-20 à 23:07

Bonsoir ! J'ai du mal à prouver un point de l'exercice suivant :
Soit X l'ensemble \{(1 2), (1 3), (2 3)\}. On souhaite prouver qu'il existe un homomorphisme injectif entre Aut(S_3) et Bij(X). J'ai trouvé une fonction convenable mais je n'arrive pas à prouver que c'est un morphisme injectif (je crois même que ma fonction est un isomorphisme)

Soit \varphi une fonction entre Aut(S_3) et Bij(X) définie de la manière suivante :

Pour \psi \in Aut(S_3),  \varphi(\psi) = f avec f : X \longrightarrow X tel que \forall x \in X, f(x) = \psi(x)

Je ne sais pas comment montrer que \varphi est un homomorphisme injectif.
Je fais soient \psi_1, \psi_2 \in Aut(S_3), on veut montrer que \varphi( \psi_1 \circ \psi_2) = \varphi(\psi_1) \circ \varphi(\psi_2) et que ker(\varphi) = Id   pour l'injectivité, mais je ne sais pas trop comment faire... Je vous remercie de votre aide.

Posté par
Zormuchere : Morphisme entre groupes d'applications 28-11-20 à 23:16

Bonsoir

Alors, que vaut \varphi(\psi_1 \circ \psi_2)  ?

Posté par
Serbiwnire : Morphisme entre groupes d'applications 28-11-20 à 23:20

\varphi(\psi_1 \circ \psi_2) = g  où \forall x \in X, g(x) = \psi_1(\psi_2(x))

Posté par
Zormuchere : Morphisme entre groupes d'applications 28-11-20 à 23:22

exact, et que vaut \varphi(\psi_1)\circ \varphi(\psi_2) ?

Posté par
Serbiwnire : Morphisme entre groupes d'applications 28-11-20 à 23:26

\varphi(\psi_1) = a  où \forall x \in X, a(x) = \psi_1(x)
\varphi(\psi_2) = b  où \forall x \in X, b(x) = \psi_2(x)
(désolé d'appeler des fonctions par a et b)
et donc \varphi(\psi_1)\circ \varphi(\psi_2) = a \circ b

Posté par
Serbiwnire : Morphisme entre groupes d'applications 28-11-20 à 23:30

et a \circ b = g car \forall x \in X, g(x) = \psi_1(\psi_2(x)) et \forall x \in X, a(b(x)) = \psi_1(\psi_2(x)) = g(x)

Posté par
Serbiwnire : Morphisme entre groupes d'applications 28-11-20 à 23:41

L'injectivité me pose problème, dois-je opter pour la manière qui montre que le noyau est trivial ou montrer que si f(x) = f(x') alors x = x' ?

Posté par
Zormuchere : Morphisme entre groupes d'applications 29-11-20 à 00:32

les deux marchent très bien ici. En fait, c'est très simple car la façon dont tu as défini  \varphi  fait que  \varphi(\psi)=\psi  pour tout  \psi

Posté par
Zormuchere : Morphisme entre groupes d'applications 29-11-20 à 01:28

À une restriction près

Posté par
Ulmierere : Morphisme entre groupes d'applications 29-11-20 à 11:22

Je te le reformule : si les restrictions \phi_{|X} et \psi_{|X} à X de deux S_3-automorphismes \phi et \psi} coincident, a-t-on \phi = \psi ?

Posté par
Serbiwnire : Morphisme entre groupes d'applications 29-11-20 à 12:28

Ulmiere @ 29-11-2020 à 11:22

Je te le reformule : si les restrictions \phi_{|X} et \psi_{|X} à X de deux S_3-automorphismes \phi et \psi} coincident, a-t-on \phi = \psi ?

Je crois que oui car (12)(13)(23) génèrent S_3 donc leur image détermine complètement les automorphismes \psi et \phi

Posté par
Ulmierere : Morphisme entre groupes d'applications 29-11-20 à 12:32

D'où l'injectivité de f


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