Bonsoir mathsx

vu comme un groupe additif ?

oui R vu comme groupe additif....

Bonjour,
comment as tu commencé?
Ce n'est pas très difficile:

f(0)=f(0+0)=2f(0) et donc f(0)=0

supposons n entier naturel, on a alors
0=f(0)=f(n-n)=f(n)+f(-n) et donc f(-n)=-f(n) pour tout n entier naturel.

f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1) et donc par récurrence f(n)=nf(1) pour tout n entier relatif.

Si je prend x rationnel, il s'écrit x=p/q avec p et q premiers entre eux.

f(p)=f(q*p/q)=f((q-1)p/q+p/q) et par réccurence, on obtient f(p)=qf(p/q)
Notamment, f(p)=pf(1) et donc
f(p/q)=f(1)p/q

Par continuité et densité de Q dans R, on conclut que pour tout x réel, f(x)=f(1)x et c'est terminé.

Il suffisait d'essayer.
Sauf erreur.
A+

merci beaucoup
mais je ne vois pas comment montrer par récurrence f(n)=n*f(1).....

on part de quelle propriété de récurrence?

Bonsoir mathsx

La méthode préconisée par otto est aussi celle que je te conseille.
Il faut utiliser la relation f(x+y)=f(x)+f(y) pour faire fonctionner la récurrence.
Pour n=0, c'est vrai car f(0)=0.
En admettant que f(n)=nf(1), on va montrer que f(n+1)=(n+1)f(1)
Par définition de f, on a f(n+1)=f(n)+f(1)
Par hypothèse de récurrence, on a f(n)=nf(1).
D'où f(n+1)=nf(1)+f(1)=(n+1)f(1). ceci termine la récurrence.

Kaiser