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Moyenne de Gauss
Bonsoir
un exo "suplaimentaire" qui m'interesse beaucoup mais sur le qu'elle je suis un peu a cours d'idee (surtous qu'il est probable qu'il ne soit aps faisable..)
on apelle moyenne de gauss (ou moyenne arithmetico-geometrique) de deux nombres a et b positif la limite comune des suite Un et Vn definit de la facon suivante :
Uo=a
Vo=b
Un+1=1/2[Un+Vn]
Vn+1=(UnVn)^(1/2)
cette apres midi j'ai eu un exercice en colle qui y ressemblait pas mal avec :
Uo=a
Vo=b
b>a>0
Un+1=1/2[Un+Vn]
Vn+1=(Vn*Un+1)^(1/2)
dans ces condition en posant a=b*cos(a)
on arrive a montrer que la limite comunes des deux suites est l=b*sin(a)/a
(nb : si vous voulez je peut vous donnez la demonstration que j'ai trouvé)
la question : est-il possible d'appliquer une methode similaire au calcule de la moyenne de gauss donné ci-dessu?
(NB: si oui via qu'elle "changement de variable", si non pourquoi ? )
Merci a toute sugestion
bonsoir Ksilver
moi je pense que les deux exos, malgré leur ressemblence, ne sont pas équivalents par changement de variable.
Par contre la résolution du premier est relativement facile. Voici qq indications:
1) montrer que Vn>=Un qq soit n (pour n=0 supposez que b>a)
en utilisant l'ingalité de Holder suivante : si c>0 et d>0 2rc(cd)<= c + d ; rc() désigne la racine carré.
2) ensuite montrer que les deux suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
voila bon courage
nan montré que sa converge sa je sais faire ^^
le probleme c'est de savoir si il y a un moyen d'exprimer la limite du 1er par une methode analogue a celle qu'on utilise au 2e (ie en possant a=b*cos(a), en montrant par recurence que Vn=b*produit(cos(x/2^k) de 1 a n) et en calculant la limite de Vn) j'ai essayer de poser Uo=Vo*cos(a) mais sa de regroupe mal ici... mais peut-etre qu'avec un truc du meme genre sa peut fonctioner ?
le colleur avait l'air de dire qu'il y avait qqch a trouvé dans ce sens (mais sa n'est pas garanti non plus...), mais je voie vraiment rien
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