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Niveau seconde
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Moyennes

Posté par
Nadd 07-05-13 à 16:38

Bonjour,

La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est le nombre \bar{x} tel que
\bar{x}=\dfrac{a+b}{2}

La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est le nombre g tel que
g=\sqrt{ab}

La moyenne harmonique des deux nombres a et b non nuls est le nombre h tel que
\dfrac{2}{h}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}

La moyenne quadratique de deux nombre a et b est le nombre q tel que
q=\sqrt{\dfrac{a²+b²}{2}}

1)Comparer entre \bar{x},g,h et q
2)On considère la figure suivante:
Trouver  la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique des nombres AB et BC en fonction des longueurs des segments dont l'un des points les formant est M.

Merci d'avance =)

Moyennes

Posté par
heklare : Moyennes 07-05-13 à 17:28

Bonjour
qu'avez-vous déjà trouvé ?

pour comparer deux nombres on étudie le signe de la différence


quant au dessin, je présume que AB=a et BC=b  est-ce cela ?

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 19:09

Euh,
Oui on peut mettre ça si vous voulez

\bar{x}-g=\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \\ \\ =\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2\sqrt{ab}}{2} \\ \\ =\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} \\ \\ =\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})²}{2}>0

ce qui fait donc que \bar{x}>g

.
q et g \\ \\ q²=\dfrac{a²+b²}{2} \\ g²=ab \\ \\ q²-g²=\dfrac{a²+b²-2ab}{2} \\ \\ =\dfrac{(a-b)²}{2}>0
et les moyennes sont positives donc q>g

\bar{x} et q

\bar{x}²=\dfrac{a²+2ab+b²}{4} \\ q²=\dfrac{a²+b²}{2}

\bar{x}²-q²=\dfrac{a²+2ab+b²}-\dfrac{2a²+2b²}{4} \\ \\ =\dfrac{a²+2ab+b²-2a²-2b²}{4} \\ \\ =\dfrac{-a²-b²+2ab}{4} \\ \\ =-\dfrac{a²+b²-2ab}{4} \\ \\ =-\dfrac{(a-b)²}{4} <0

comme \bar{x} et q sont positifs donc \bar{x}<q

(je sais j'aurais pu commencer avec ça et dire que \bar{x}<q et \bar{x}>g donc q>g

...
\bar{x} et h
h=\dfrac{2ab}{a+b} après quelques transformations

\bar{x}-h=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b} \\ \\ =\dfrac{\dfrac{1}{2}(a+b)²}{a+b}-\dfrac{2ab}{a+b} \\ \\ =\dfrac{\dfrac{1}{2}\times a²+\dfrac{1}{2}\times b²+ab}{a+b}-\dfrac{2ab}{a+b} \\ \\ =\dfrac{\dfrac{1}{2}\times a²+\dfrac{1}{2}\times b²-ab}{a+b} \\ \\ =\dfrac{a²+b²-2ab}{2(a+b)} \\ \\ =\dfrac{(a-b)²}{2(a+b)}>0 \\

donc
\bar{x}>h \\

....
g et h

h=\dfrac{2ab}{a+b} \\ \\ g=\sqrt{ab}

h-g=\dfrac{2ab}{a+b}-\sqrt{ab} \\ \\ =\dfrac{2ab-(a+b)\sqrt{ab}}{a+b} \\ \\ =\dfrac{-\sqrt{ab}(-2\sqrt{ab}+a+b)}{a+b} \\ \\ =\dfrac{-\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})²}{a+b}<0

négatif parce que -\sqrt{ab} est négatif ,(a+b) positif et (\sqrt{a}-\sqrt{b})² positif

donc h<g


CE QUI NOUS FAIT ENFIN x_x

q>\bar{x}>g>h

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 19:11

Je sais le x barre et h ça n'a servi à rien x)

Posté par
heklare : Moyennes 07-05-13 à 20:28

pour montrer que h\leqslant g
vous pouviez utiliser  
h=\dfrac{g^2}{\overline{x}}

h-g=\dfrac{g^2-g\overline{x}}{\overline{x}}=\dfrac{g(g-\overline{x})}{\overline{x}}\leqslant 0

arithmétique AO ou MO

géométrique MB

comment sont construits les points ?

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 20:53

Euh,
Je n'ai aucune info sur les points x)

O centre du cercle

PS:J'ai vu cette règle sur wikipedia mais il fallait la démontrer sans ^^' donc j'ai utilisé cette méthode qui me semble être bien =).

.
Oui pour l'arithmétique j'avais compris et c'était logique =).
Mais pour les autres je bloque même après avoir vu l'article sur wiki

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 20:58

je voudrais savoir pourquoi MB est la moyenne géométrique x).

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 21:08

Ah oui!
Bon,
(OB) est perpendiculaire à (MO)
et bien sûr comme y'a des cercles la distance entre O et un point d'un des cercles Est le rayon...
Et aussi on peut voir que AB=ME=HC

Posté par
heklare : Moyennes 07-05-13 à 21:09

MB^2=BA \times BC  relation dans les triangles rectangles

les triangles MAB et CMB sont semblables   les côtés sont proportionnels \dfrac{MB}{CB}=\dfrac{AB}{MB} d'où la relation

vous pouvez le montrer aussi avec les tangentes d'un angle

on démontre  toujours avec les triangles semblables  MB^2=MD\times MO

(ab)=MD \times \dfrac{a+b}{2} d'où MD=\dfrac{ab}{\frac{a+b}{2}}=h

q=MG ? je cherche une démonstration

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 21:14

Désolé Et aussi MOG angle droit x)

Donc MG c'est la quadratique

OA Arithmétique
MB géométrique
et ME harmonique

Mais je ne sais pas comment justifier x)

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 21:15

Oui je voudrais bien une démonstration pourMG svp =)

Posté par
Naddre : Moyennes 07-05-13 à 21:16

Ah ok C'est MD Harmonique *-*

Posté par
heklare : Moyennes 07-05-13 à 21:38

Si MOG est un triangle rectangle alors c'est évident

MG^2=MO^2+OG^2

MG^2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}=q^2


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