Introduisons pour P polynome de Z[X] son contenu, cad le nombre c(P) pgcd de ses coefficients. Remarquons que le produit de deux polynomes P et Q dont le contenu est égal à 1 a aussi un contenu égal à 1:

En effet, si le contenu de PQ était divisible par un nombre premier p, introduisons k et l les plus petites puissances de X dans P(X) et Q(X) dont les coefficients ne sont pas divisibles par p (elles existent car les pgcd des coefficients sont égaux à 1), et notons c_k et c_l ces coefficients. Alors il est immédiat que le coefficient de X^(k+l) dans PQ(X) est congru à c_k.c_l modulo p, ce qui est absurde car c_k et c_l ne sont pas divisibles par p, donc il en va de même de leur produit. Cela contredit le fait que p divise le pgcd des coefficients de PQ (et en particulier le coefficient de X^(k+l)...)

Revenons au problème de départ. On écrit F=G.H avec H un polynome de Q[X]. H est également normalisé. Soient a et b des entiers positifs tels que aG et bH soient des polynomes de Z[X]. Quitte à les diviser par leur contenu (ce qui ne modifie pas l'appartenance à Z[X]), on peut supposer que c(aG)=c(bH)=1. D'après ce qu'on vient de montrer ci-dessus, c(ab.F)=c(aG.bH)=1. Mais comme F est un polynome d'entiers normalisé, il est clair que c(F)=1 donc c(ab.F)=ab. D'ou ab=1, donc a=b=1 (on a pris a et b entiers positifs). Ainsi G(X)=aG(X) est un polynome de Z[X], CQFD.

Comme application, la décompositions en polynômes irréductibles d'éléments de Z[X] (qui se fait dans Q[X] a priori) reste dans Z[X]. Plus généralement, le raisonnement qu'on a fait montre que si A est un anneau factoriel (i.e. qui possède une décomposition en facteurs irréductibles à élément inversible près), A[X] est également factoriel...