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Niveau maths sup
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[MPSI MPSI]Equation linéaire sur un corps

Posté par dominique (invité) 26-03-04 à 14:24

Bonjour à la communauté, pouuvez vous m'aidez à resoudre ce
probleme je vous en remercie par avance :

Resoudre et discuter le systéme

(ax + by + h)/c = (bx + cy + h)/a = cx + ay + h) / b

(a,b,c,h) donnés, les trois premiers non nuls.

Je vous en remercie par avance et à bientot ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : [MPSI MPSI]Equation linéaire sur un corps 26-03-04 à 15:55

Attention, sans relecture.
Gare aux erreurs.  

Si a = b

(bx + cy + h)/a = (cx + ay + h) / b  devient:
bx + cy + h = cx + ay + h
bx + cy  = cx + ay
x(b-c) = y(a-c)
x(a-c) = y(a-c)


(ax + by + h)/c = (bx + cy + h)/a   devient
a(ax + ay + h) = c(ax + cy + h)
a²x + a²y + ah = acx + c²y + ch
x(a²-ac) = y(c²-a²)+h(c-a)
ax(a-c) = y(c-a)(c+a)+h(c-a)
Si a = c -> c'est toujours OK quels que soient x et y.
Si a différent de c ->
ax = -y(c+a)-h
-----
Donc si a = b = c , x et y peuvent être choisis librement.

si a = b mais différent de c, on a le système:

x = y
ax = -y(c+a)-h

-> x = y = -h/(2a+c)

Par raison de symétrie si a = c différent de b
-> x = y = -h/(2a+b)
et si b = c différent de a
-> x = y = -h/(2b+a)
-----
Reste le cas où a, b et c sont tous différents.

C'est un système de 2 équations à 2 inconnues (x et y).

(ax + by + h)/c = (bx + cy + h)/a
(ax + by + h)/c = (cx + ay + h) / b


a²x + aby + ah = bcx + c²y + hc
abx + b²y + bh = c²x + acy + ch

x(a²-bc) = y(c²-ab) + h(c-a)
x(c²-ab) = y(b²-ac) + h(b-c)


1°)
si a² - bc différent de 0 (on a alors c² - ab différent de 0, sinon
on aurait a = b = c).

x(a²-bc)(c²-ab) = y(c²-ab)² + h(c-a)(c²-ab)
x(c²-ab)(a²-bc) = y(b²-ac)(a²-bc) + h(b-c)(a²-bc)

y(c²-ab)² + h(c-a)(c²-ab) =  y(b²-ac)(a²-bc) + h(b-c)(a²-bc)
y = [h(b-c)(a²-bc) -h(c-a)(c²-ab)] / [(c²-ab)²  - (b²-ac)(a²-bc)]
y = h(a²b-b²c-a²c+bc²-c³ +abc+ac²-a²b)/(c^4+a²b²-2abc² - a²b²+b³c+a³c-abc²)
y = h(-b²c -a²c +bc² -c³ +abc + ac²)/(c^4- 3abc²+b³c+a³c)
y = h(-b² -a² +bc -c² +ab + ac)/(c³- 3abc +b³ +a³)

même style pour trouver x

2°)
Si a² - bc = 0 (avec a , b et c tous les 3 différents, a et b de même
signe, sinon c'est impossible.)

x(a²-bc) = y(c²-ab) + h(c-a)
x(c²-ab) = y(b²-ac) + h(b-c)

0 = y(c²-ab) + h(c-a)
x(c²-ab) = y(b²-ac) + h(b-c)

D'où on extrait x et y...
-----
Vérifie 2 fois plutôt qu'une.  



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