Bonjour, voilà j'ai cet exercice à faire et je rencontre quelques difficultés sur la fin... j'aimerai que vous me veniez en aide si c'est possible... Merci beaucoup !



Dans l'espace affine euclidien R³ raporté a son cannonique (O,i,j,k), on note a, b ,c trois réels strictement positifs et P le plan passant par A = (a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c). On note (C) le cercle inscrit du triangle ABC dans le plan P, R son rayon, et Oméga (Alpha, Beta, Gamma) son centre.

1) Donner l'equation du plan P
2) Soit I le point de contact du cercle C avec la droite (AB) et L la projection orthogonale de Oméga sur le plan Oxy.
*Montrer sans calcul que la droite (IL) est orthogonale au coté (AB)
*Calculer la distance d(L,AB) du point L à la droite (AB) en fonction de a,b,c,alpha beta et Gamma.
*En déduire la distance d(Oméga, AB) du point Oméga à la droite (AB) en fonction de a,b,b,alpha, beta et gamma

3) Determiner de même les distance d(Oméga, BC) et d(Oméga, AC).

4) Montrer que Oméga appartient à la sphère de centre O et de rayon R*sqrt(2).

Voilà ce que j'ai trouvé :
1) bcx + acy + abz -abc = 0
2) OmégaI.AB = 0 (vecteur, scalaire)
donc (OmégaI.AB).(Oxy) = 0 (projection du scalaire sur le plan (oxy) donc LI.AB =0
*d(L,ab)=(|alpha + (a/b)Beta - a|) / sqrt(1²+a²/b²)
*Comme triangle rectangle : d²(Oméga,AB) = [(alpha + (a/b)Beta -a)²/ (1 + a²/b²)] + Gamma²

3) De la même façon on obtient :
d²(Oméga,AC) = [(-alpha + (a/c)Gamma + a)²/(1 + a²/c²)] + Beta²
d²(Oméga, BC) =   [(-Beta - (b/c)Gamma + b)²/(1 + (a²/b²))] + Alpha²

Est ce que jusque ici cela vous semble t'il bon ?

Quatrième question :

J'ai des problèmes, et c'est ici que j'ai un peu besoin d'aide si c'est possible :
Je cherche à démontrer que oméga appartient à un sphère de centre O et de rayon R(sqrt(2)). ce qui revient à démontrer que
OOméga²= r² (r=rayon sphère)
OOméga² = 2R² (R= Rayon cercle)
alpha² + betta² + Gamma² = 2R²

et j'arrive pas trop à me dépatauger de ça. Si quelqu'un peut m'aider, ça serait vraiment sympa. Merci beaucoup

Aurevoir