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N-ième dérivée d'une fonction exponentielle & suites
Bonjour,
Je dois rendre un DM pour le lundi 5 décembre et je coince au niveau du 3ème exercice, dont voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (1-2x) e^(2x)
On note f^(n) la dérivée n-ième de f.
1) Démontrer par récurrence que pour tout n non nul f^(n)(x)=2^n (1-n-2x)e^(2x)
2) Démonter que pour tout n non nul, la courbe représentative de f^(n) admet une tangente horizontale ne un point que l'on note Mn.
3) Calculer les coordonnées (xn;yn) de Mn. Vérifier que pour tout n non nul, Mn appartient à la courbe C d'équation y= (e^(2x))/(4^x)
4) Vérifier que la suite (Xn) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme, la raison et la limite.
5) Vérifier que la suite (Yn) est une suite géometrique dont on donnera le premier terme, la raison et la limite.
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour,
Calculs f'(x) pour montrer que la proposition de récurrence est vrai pour n=1. Puis en supposant cette hypothèse vraie pour tout n, on veut montrer qu'elle est vraie au rang n+1.
Or la dérivée (n+1) est simplement la dérivée de la dérivée n, calculs la donc en partant de l'expression de la question 1 et montres que tu obtiens bien f^(n+1)(x) = 2^(n+1)(-n-2x)e^(2x)
le (-n-2x) vient simplement de (1-(n+1)-2x)=(-n-2x)
Je vous remercie pour votre réponse, mais cependant elle ne m'aide pas vraiment. Je connais la démarche qu'il faut pour démontrer quelque chose par récurrence, mais je n'arrive pas à dériver l'expression 2^n (1-n-2x)e^(2x). Je m'embrouille dans mes calculs et cela n'aboutit à rien.
Merci de m'apporter plus de précisions.
Bonjour,
Je dois rendre un DM pour le lundi 5 décembre et je coince au niveau du 3ème exercice, dont voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (1-2x) e^(2x)
On note f^(n) la dérivée n-ième de f.
1) Démontrer par récurrence que pour tout n non nul f^(n)(x)=2^n (1-n-2x)e^(2x)
2) Démonter que pour tout n non nul, la courbe représentative de f^(n) admet une tangente horizontale ne un point que l'on note Mn.
3) Calculer les coordonnées (xn;yn) de Mn. Vérifier que pour tout n non nul, Mn appartient à la courbe C d'équation y= (e^(2x))/(4^x)
4) Vérifier que la suite (Xn) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme, la raison et la limite.
5) Vérifier que la suite (Yn) est une suite géometrique dont on donnera le premier terme, la raison et la limite.
Merci d'avance pour votre aide,
Antoine.
*** message déplacé ***
* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *
Bonjour,
1) tu dérives f pour montrer
ensuite hérédité
tu supposes
et tu dérives pour obtenir
*** message déplacé ***
Merci, mais je bloque au niveau des calculs. Je pense pourtant que j'utilise les bonnes formules de dérivation, mais j'ai du mal au niveau des règles de calcul sur les puissances. Si vous pouviez m'aider là-dessus ...
*** message déplacé ***
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