Salut ,

Il m'a fallu pas mal de temps pour enfin arriver à trouver la relation par récurrence par laquelle définir (Un) qui est en fait assez simple. En effet, (Un) est définie par :



Et voilà, tu peux vérifier, ça marche .
La démonstration par recurrence est relativement simple à faire, et je te laisse donc essayer. Cependant si tu rencontres une difficulté, n'hésite pas .

À +

je sui ds la class de rosefashion é moi jcompren pa déjà ce ke c des radicaux???
é je me demande si c pa U(n+1)=U(n)+2?

en tt cas merci pr belge-FDLE mé qqn pourré ns donné + dindications?
merci d'avance

Effectivement, c'est une petite erreur de frappe dans le message de Belge-FDLE



@+

Salut liloo ,

Alors tout d'abord, ici, le terme "radical" désigne ceci :  
Par exemple, dans l'énoncé on dit que :

   (les radicaux s'imbriquent les uns dans les autres jusqu'à ce qu'on en aie n)

Ainsi, pour n=1, comme l'a dit très justement rosefashion, on a :
   (on a bien un seul radical)
Pour n=2, on a :  
Pour n=3, on a :  
Pour n=4, on a :  
etc...

Ensuite pour la réponse que tu proposes (), tu peux facilement te rendre compte qu'elle est fausse car tu vois qu'on te demande à la question d'après de démontrer que un est inférieur à 2 pour tout n de N.

Voilà, j'espère qu'avec ces précisions supplémentaires, ça devrait aller mieux.

Abordons la question 3) :

3) Montrer par recurrence que Un est croissante majorée par 2.
Alors, si (Un) est croissante, on a :  
De même, si (Un) est majorée par 2, on a :  
Ainsi, il faut démontrer par récurrence que :  
Comme tu dois le savoir une démonstration par récurrence se décompose en deux parties : une initiallisation (pour vérifier que la propriété est vérifier à un certain rang n) suivie d'une hérédité (pour prouver que la propriété est héréditaire).

Initiallisation : Pour n=0, on a :  .
Ainsi, on a bien    et la propriété est donc vérifiée au rang n=0.

Hérédité : Supposons la propriété vérifiée à un rang n fixé, càd que :  
Démontrons que dans ce cas, la propriété est également vraie au rang n+1 et que l'on a :  .
Pour ce faire, partons de notre hypothèse de récurrence. On a :


d'où  
càd  
donc     (ici on a utilisé la relation de récurrence trouvée à la question précédente)

Ce qui traduit que la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vérifiée pour n=0 et est héréditaire, elle est donc vérifiée pour tout n entier naturel, et on a donc :

Ce qui veut dire que (Un) est croissante et majorée par 2, pour tout n.

Voili, voiloù .
Je pense que pour les questions suivantes, il faut également utiliser un raisonnement par récurrence ressemblant à celui-ci.
Si tu as la moindre question, n'hésite pas .

À +

Oui, désolé, c'est vrai je ne m'en étais pas rendu compte .

Merci Victor de me corriger .

Et pour mon dernier POST, je pensais que Liloo avait faux car elle n'a pas utilisé les parenthèses, mais à tous les coups, même si elle les as oubliées, elle a trouvé la même réponse que moi.

À +

Pour ma part, je ne me lasse pas de tes réponses toujours très agréables à lire

je vous remercie pr tte vos explications
é pr U(n+1) j'ai bien oublié lé parenthèse!

merci bcp victor et belge-FDLE pour votre aide
et liloo aussi

Je n'ai pas fait grand chose, il faut surtout remercier Belge-FDLE

en fait g une petite question après reflection ds le 1) on demande de definir Un par recurrence mais la on a trouvé U(n+1) commmen fait on pr trouvé Un ? et pk belge-FDLE dis que U0= 2 alor que la suite est definie a partir de 1???? merci de me repondre

En fait, j'ai marqué u0 et u1 par habitude, mais c'est une fois de plus une faute d'inatention . Il faut évidement lire à la place u1 et u2 (d'ailleurs les valeurs sont les bonnes). De même à la fin, il faut lire que la relation est vraie pour tout n supérieur ou égal à 1.

Sinon, définir une suite par récurrence, c'est bien ce que l'on a fait. On donne la valeur du premier terme de la suite u1 et on dit comment calculer tous les autres termes de la suite grâce à la relation de récurrence :



Voili, voilou .
Sinon, ce fut un plaisir de pouvoir aider .
Merci pour le compliment sur mes réponses Victor : maintenant, il ne me reste plus qu'à essayer de faire un peu plus attention aux étourderies .

À +