Niveau LicenceMaths 2e/3e a

nappe paramétrée

Posté par
Theo92 15-04-19 à 15:38

Bonjour.

Je cherche un exemple de nappe paramétrée injective et régulière $\phi : U \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ de classe C1 dont l'image n'est pas une sous-variété de dimension 2 de $\mathbb{R}^3$ .

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Posté par re : nappe paramétrée 15-04-19 à 16:00

Bonjour

Voilà un exemple $\R\to \R^2$ que tu peux facilement adapter à une dimension supérieure.
$f(t)=\left(\dfrac{t}{1+t^4},\dfrac{t^3}{1+t^4}\right)$

Posté par re : nappe paramétrée 15-04-19 à 17:01

Bonjour Camélia. Je vous remercie pour votre aide.

Si je suis bien, $\phi : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 , (x,y) \longrightarrow ( \frac{x+x^3}{1+x^4} , \frac{x-x^3}{1+x^4} , y )$ peut convenir ?

Le critère est-il alors que la matrice jacobienne de $\phi$ n'est pas inversible pour tout p dans $\mathbb{R}^3$ ?

Posté par re : nappe paramétrée 16-04-19 à 14:24

Oui, c'est bien à un truc de ce genre que je pensais. Il y a même plus simple. Une matrice rectangulaire n'a aucune chance d'être inversible! On lui demande d'être injective en chaque point. Et ceci ne suffit pas, comme tu peux le voir! Par exemple c'est vrai que c'est une sous-variété si l'application est en plus un homéomorphisme sur son image.

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