Bonjour

Tu es sûr d'être en troisième ?

Etudie le dernier chiffre de
13^0
13^1
13^2
13^3
13^4
13^5
13^6

Et fais une hypothèse : la suite formée du chiffre de l'unité de 13ⁿ est une suite périodique, de période 4...
Or 2007=4*501+3 donc ..

Oui je suis en 3eme.

Mais je comprends pas le terme "suite périodique" que tu as utilisé.
Pourrais tu m'expliqué ?

Bien sûr

Etudions le chiffre des unités :

13⁰ 1
13¹ 3
13² 9
13³ 7
13⁴ 1
13⁵ 3
13⁶ 9

On voit que ce sont toujours les 4 mêmes chiffres qui reviennent dans le même ordre : 1,3,9,7
Il y a 4 chiffres différents, donc la période vaut ici 4. Ok ?
Comment deviner, en connaissant n, le chiffre des unités de 13ⁿ ?

Tout simplement en écrivant que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme
n=4k
n=4k+1
n=4k+2
n=4k+3
avec k entier naturel aussi.
(Si la période avait été 2, alors on aurait distingué 2 cas : n pair càd n=2k ou n impair càd n=2k+1)

Ainsi, on a une relation entre n et ce chiffre des unités :


Si n est de la forme n=4k  k entier naturel
13ⁿ=13^4k dont le chiffre des unités est 1 (cf 13⁰)

Si n est de la forme n=4k+1
13ⁿ=13^4k+1 dont le chiffre des unités est 3 (cf 13¹)

Si n est de la forme n=4k+2
13ⁿ=13^4k+2 dont le chiffre des unités est 9 (cf 13²)

Si n est de la forme n=4k+3
13ⁿ=13^4k+3 dont le chiffre des unités est 7 (cf 13³)

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2007 peut s'écrire sous la forme 2007=4k+3 avec k=501, donc le chiffre des unités de 13²⁰⁰⁷ est ... ?

Ouf

J'avoue que c'est délicat à comprendre quand c'est mal expliqué

Je pense que le chiffre des unités de 13²⁰⁰⁷ est 7 car 13^4k+3 a pour chiffre des unités 7 (13³) donc ça revient à faire la même opération pour l'exposant de 13²⁰⁰⁷.

Peux tu me dire si mon raisonnement est bon ou pas ? merci

Non c'était bien expliqué c'est juste que j'ai jamais fait ça..

Oui c'est un peu ce que j'ai dis à la fin de mon premier message ^^

C'est juste. Mais as-tu compris le raisonnement que j'ai adopté ?

Oui je l'ai compris.. Merci de ton aide !

Avec plaisir