En calculant, on trouve . On remarque alors que est racine du polynôme . Ensuite j'ai oublié mes cours d'algèbre pour justifier que c'est ce polynôme le polynôme minimal (si c'est bien celui-là). Je pense qu'il suffit de  montrer que ce polynôme est irréductible dans .

Tu vérifies qu'aucun polynôme de ne divise et le tour est joué

Tu vérifies que ton polynôme avec les mêmes coefficients modulo un nombre premier est irreductible, c'est nettement plus simple.

je crois qu'il s'agit du critère d'Eiseinstein ou qqchose comme ça.
Je vais bouquiner et voir donc pour conclure.

Non ici tu ne peux pas utiliser le critère d'Eisenstein (critère assz inutile en réalité).
Il existe des tas de critères s'appliquant à des tas de situation.
Essaie celui que je t'ai indiqué.
pour p=2 ca ne marche pas
essaie avec p=3.

A+

Dans on a

donc il est réductible non ?

Non pas nécessairement, la preuve en est que justement dans Q il est irreductible.
On passe au cas n=5 (ensuite 7 et si ca ne marche pas, alors la méthode n'est pas concluante et on se débrouille autrement)

En fait ici, avec un peu d'algèbre avancé on sait tout de suite que ce polynôme est bien irreductible:
L'extension que l'on a en ajoutant ce nombre est une extension quadratique d'une extension quadratique. On a alors que c'est une extension de degré 4 et on a un polynôme qui annule ce nombre. Il est forcément minimal.

Ne connaissant pas le niveau de orm, je ne sais pas s'il peut se servir de ceci.
Sinon il y'a la méthode directe, pas forcément intéressante:
On regarde qu'aucun polynôme de degré 1 ou 2 ne divise le polynôme.

"On a alors que c'est une extension de degré 4 et on a un polynôme qui annule ce nombre. Il est forcément minimal."

Je voulais dire : "un polynôme de degré 4 qui annule ce nombre"

Evidemment, sinon ca n'a pas de sens.
A+

Quand je disais que P(X) est réductible, je parlais dans Z/3Z.

Comment sait-on que l'adjonction de alpha donne une extension quadratique d'une extension quadratique ? C'est l'extension de avec adjonction de racine de 2 puis de racine 3 ? Pourquoi ?

Par exemple, si P est divisible par un polynôme de degré 1, alors nécessairement, P a une racine rationnelle, notons là p/q avec p,q premiers entre eux:

ainsi
p^4-10p^2q^2=-q^4

et q^2 divise (10p^2q^2) et q^4
Nécessairement, il doit diviser p^4 et donc q divise p.

Pour les polynômes de degré 2, ca demande plus de travail, mais on voit qu'un tel polynôme s'écrit nécessairement x^2+ax+b avec b=1 ou -1

"Comment sait-on que l'adjonction de alpha donne une extension quadratique d'une extension quadratique ? C'est l'extension de  avec adjonction de racine de 2 puis de racine 3 ? Pourquoi ?"
Parce que ca se voit

Non en fait, il suffit de montrer que cette extension de Q, notons là L, est elle même une extension de K (mettons que K=Q(rac2), mais avec rac3 ca marche pareil), et que ces extensions sont non triviales (au sens ou les inclusions de Q dans K dans L sont strictes)

Pour que les inclusions soient strictes, il suffit de trouver un élément de L qui n'est pas dans K, et un élément de K qui n'est pas dans Q.

Un élément de L qui n'est pas dans K, le mieux est de prendre justement racine de 3 (racine de 6 fonctionne également).
Un élément qui est dans K et pas dans Q, racine de 2 fonctionne.

Par définition, on a bien L extension de K extension de L.
Donc c'est terminé.
Ainsi l'extension est de degré au moins 4.
Un polynôme de degré 4 annule notre "générateur" de L, ainsi l'extension est de degré exactement 4, et ce polynôme est minimal. (a un multiple rationnel près)

A+

Ouais tu peux oublier ma question à moi je crois que j'ai compris.

Oups... tu viens d'y répondre!

Ouais ben désolé c'est ainsi que j'avais compris. Merci tout de même cette séance m'a rafraîchi la mémoire.

Par définition, on a bien L extension de K extension de L.

Il faut bien entendu lire

Par définition, on a bien L extension de K extension de Q.

A+

Bonjour;
On peut remarquer que les racines du polynome sont et ainsi les polynomes de degré 2 (unitaires) divisant P sont , et et aucun d'eux n'est dans .

Pourquoi est ce que j'ai dit que b=1 ou -1 effectivement c'est faux.
Merci elhor.

A+

Effectivement tu avais raison otto,il y a polynomes unitaires de degré 2 divisant P j'en avais donc oublié 3: , et et ils sont tous (heureusement) dans
Sauf erreurs...

autre méthode : le corps engendré par  
contient  racine de 6 (d'après les calculs) et est imaginaire d'après l'expression du carré de   donc de degré 4.(bon c'est quasi pareil qu'otto)

lolo

oups ce que j'ai écri ne marche pas tout est réel (enfin ça pourrait servir dans d'autres situations)

lolo

Merci pour toutes vos réponses.
a+