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Nilpotance et rang
Bonjour l'île,
Je rencontre un petit problème dans la résolution d'un exercice d'algèbre. Je vous expose l'énoncé:
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E. On suppose
qu'il existe un entier p
2 tel que et f^{p −1}
0.
1. Montrer que la famille (x, f(x), · · · , f^{p−1}(x)) est une famille libre de E si et seulement si f^{p−1}0.
2. Montrer que
3. En déduire pour tout q 
p − 1 l'inégalité
(p − q).rg(f^{p-1}) rg(f^q)
Note: f^{p-1} désigne fofo...of avec p-2 ronds (le code latex fait encore des siennes...)
La question 1 est assez simple.
En revanche je bloque sur la question 2. J'ai essayé de majorer le rang de f^{p-1} en étudiant la suite des images itérées et en remarquant qu'elle est strictement décroissante pour k entre 1 et p-1 (car si on a égalité entre deux termes consécutifs de la suite
, alors elle est stationnaire), mais en vain.
Votre aide serait la bienvenue!
Bonne journée à tous,
Wacker.
Bonjour
C'est assez trivial aussi. Sachant que fp = 0, que peux-tu dire du noyau de fp-1? Le théorème du rang conclut.
En fiat ça paraît un peu trop simple, mais je vois pas où ça cloche...
Bonjour Bachztelze,
Merci pour ta réponse. Je pense que quelque chose doit m'échapper car je ne vois pas :/.
Oublie ce que j'ai dit, j'étais mal réveillé et mon idée était complètement fausse. :p
Puisque fp = 0, on a Im(fp-1) 
ker(f), d'où rg(fp-1) ≤ dim(ker(f)) et donc rg(fp-1) ≤ n - rg(f). Pour p = 2, on a fp-1 = f et donc 2.rg(fp-1) ≤ n, ce qu'on veut. Il y a sans doute matière à faire une récurrence sur p alors (sachant que p ≤ n).
Jolie initialisation, mais je ne pense pas que la récurrence puisse résoudre notre problème.
Des idées? 
Ouais, je vois l'idée mais j'arrive pas à formaliser. Je pense que l'idée c'est que rg(fp-1) ne peut p
Rahh... Je pense que l'idée c'est que rg(fp-1) ne peut pas être "trop" grand, parce qu'il est majoré par dim(ker(f)), et que dim(ker(f)) vaut n - rg(f). Si rg(fp-1) est grand, ça veut dire que dim(ker(f)) est grand, et donc que rg(f) est petit, ce qui est absude puisque la suite des rg(fk) décroît.
Bonjour Camélia,
Merci pour votre réponse. J'imagine que l'entier r représente le rang de .
On montre sans peine que la famille est libre en composant successivement par puis par
... Et l'inégalité recherchée s'en déduit.
Pour la dernière question, si on considère la restriction de f à que l'on note g, on remarque que g est un endomorphisme de
, nilpotent d'ordre p-q.
D'où, d'après l'inégalité précédente on a:
Il reste à prouver l'égalité
Si et
tels que
et
c'est-à-dire
et
Réciproquement, si ,
tel que
(car
)
i.e où
et
.
L'égalité s'écrit alors
CQFD.
J'espère ne pas m'être embrouillé . Est-ce bon?
Merci beaucoup pour votre aide Camélia (comme d'habitude quoi ),
Wacker.
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