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nom de ce genre de coordonnées

Posté par Profil amethyste 21-04-20 à 08:15

Bonjour et merci d'avance

Comment se nomment les coordonnées \left(w:x:y:z\right)

décrites ci-dessous et qui entrent dans l'expression du point P

___________________

Énoncé

Soient \left(ABCD\right) un repère barycentrique de l'espace

et P un point de coordonnées barycentriques

\left(i:j:k:l\right) sur ce repère

En notant

a l'aire géométrique du triangle BCD  

b l'aire géométrique du triangle ACD

c l'aire géométrique du triangle ABD

d l'aire géométrique du triangle ABC

et en posant

w=\dfrac {i}{a}  ,  x=\dfrac {j}{b}  ,  y=\dfrac {k}{c}  ,  z=\dfrac {l}{d}  

Alors l'expression du point P est donné par

P=\dfrac {aw}{aw+bx+cy+dz}.A+\dfrac {bx}{aw+bx+cy+dz}.B+\dfrac {cy}{aw+bx+cy+dz}.C+\dfrac {dz}{aw+bx+cy+dz}.D

On obtient toujours

\dfrac {aw+bx+cy+dz}{3!} volume algébrique du tétraèdre

Posté par
carpediem
re : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 08:24

salut

amethyste @ 21-04-2020 à 08:15

Bonjour et merci d'avance

Comment se nomment les coordonnées \left(w:x:y:z\right)

décrites ci-dessous et qui entrent dans l'expression du point P

___________________

Énoncé

Soient \left(ABCD\right) un repère barycentrique de l'espace

et P un point de coordonnées barycentriques   ben c'est écrit ici !!!

\left(i:j:k:l\right) sur ce repère

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 08:42

Bonjour Carpediem

oui mais ma question porte sur le nom de

\left(w:x:y:z\right)

comment elles s'appellent ces coordonnées là?

Posté par
carpediem
re : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 10:08

carpediem @ 21-04-2020 à 08:24

salut

amethyste @ 21-04-2020 à 08:15

Bonjour et merci d'avance

Comment se nomment les coordonnées \left(w:x:y:z\right)

décrites ci-dessous et qui entrent dans l'expression du point P

___________________

Énoncé

Soient \left(ABCD\right) un repère barycentrique de l'espace

et P un point de coordonnées barycentriques   ben c'est écrit ici !!!

\left(i:j:k:l\right) sur ce repère

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 10:09

Je pense avoir trouvé la réponse comment appeler ces coordonnées là

celles décrites par (w:x:y:z) sachant que (i:j:k:l) sont les coordonnées barycentriques du point P sur (ABCD)

dans le lien document PDF (document original datant de 1912)



mais bon j'ai lu en diagonale (je vais voir)

En dimension deux elles s'appellent coordonnées trilinéaires et là dans ce cas a,b,c sont des longueurs géométriques de segments(les trois côtés du triangle)

En fait ça serait une généralisation quand le repère est un tétraèdre dans l'espace à trois dimensions où donc ici a,b,c,d sont des aires géométriques de triangles (les quatre facettes du tétraèdre)  

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 10:13

Bonjour Carpédiem

(i;j;k;l) n'est pas (w:x:y:z)

(i:j:k:l) sont les cb de P sur (ABCD) mais pas (w:x:y:z)

amethyste @ 21-04-2020 à 08:15



w=\dfrac {i}{a}  ,  x=\dfrac {j}{b}  ,  y=\dfrac {k}{c}  ,  z=\dfrac {l}{d}  

Posté par
carpediem
re : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 10:23

oui pardon !!! désolé ...

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 10:28

de rien Camarade Carpédiem

bon sinon je vais étudier le pdf mis en lien plus haut

Bonne journée à toi camarade et bon confinement : en maths le confinement n'est pas une torture car en maths on n'en a rien à foutre de faire du sport ou se balader et surtout pourquoi se balader sur une sphère? alors qu'en maths on se balade dans des espaces de toutes sortes de dimensions

Posté par
luzak
re : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 16:46

Les w,x,y,z ne sont pas des coordonnées. Enfin peut-être des coordonnées barycentriques si la somme est non nulle et, dans ce cas, de quel point ?

Je m'interroge sur le mélange des "aires géométriques" et "volume algébrique"  ?

....................................................
Si i,j,k,\ell est un système de coordonnées barycentriques de P il en est de même de \lambda i,\lambda j,\lambda k,\lambda l,\;\lambda \neq 0.

Comme tu prends i=aw,\;j=bx,\;k=cy,\;\ell=dz, en posant s=aw+bx+cy+dz les réels \dfrac{aw}s,\;\dfrac{bx}s,\;\dfrac{cy}s,\;\dfrac{dz}s sont encore des coordonnées barycentriques pour P. Ce qui explique ta relation P=....

Mais j'ai des doutes sur l'histoire des aires géométriques : il me semble qu'il manque la distance de P respectivement à tes quatre plans pour obtenir la relation concernant le volume algébrique de ABCD.

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 17:34

en tout cas j'obtiens les deux résultats ci-dessous (pour tout point P de l'espace)

mais je ne sais pas comment appeler (w:x:y:z)

ce ne sont pas des coordonnées barycentriques (cb en abrégé) de P sur (ABCD)

puisque ce sont (i:j:k:l) qui sont les cb de P sur (ABCD)

amethyste @ 21-04-2020 à 08:15



P=\dfrac {aw}{aw+bx+cy+dz}.A+\dfrac {bx}{aw+bx+cy+dz}.B+\dfrac {cy}{aw+bx+cy+dz}.C+\dfrac {dz}{aw+bx+cy+dz}.D

On obtient toujours

\dfrac {aw+bx+cy+dz}{3!} volume algébrique du tétraèdre défini par le repère barycentrique (ABCD)

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 18:01

un troisième résultat

la somme w+x+y+z\neq 0 car  

w donne la mesure algébrique entre le point P et son image sur l'hyperplan portant le triangle BCD

x donne la mesure algébrique entre le point P et son image sur l'hyperplan portant le triangle ACD

y donne la mesure algébrique entre le point P et son image sur l'hyperplan portant le triangle ABD

z donne la mesure algébrique entre le point P et son image sur l'hyperplan portant le triangle ABC

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 18:12

*image orthogonale

**et puis bon ici l'hyperplan est un plan vu que la dimension de l'espace est 3

Posté par
luzak
re : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 18:18

Je pense qu'à un coefficient près les w,\dots (probablement 2) sont les  distances de P aux faces du tétraèdre avec des signes pas évidents.

En effet, les coordonnées barycentriques i,\dots de P sont proportionnelles aux volumes algébriques des tétraèdres PBCD,\dots, volumes dont la somme est celui (volume algébrique) du tétraèdre ABCD.

Par conséquent \dfrac{aw}6,\dots serait le volume de PBCD qui lui-même est tiers du produit de l'aire nommée a par la hauteur (distance de P à la face BCD).

Mais j'insiste : ces aires, volumes et distances doivent être affublées d'un signe convenable.

Pour faire un calcul exact il faudrait partir de la relation du barycentre : i\vec{PA}+\dots=\vec0 et faire le produit scalaire de cette relation  avec les produits vectoriels \vec{PB}_\wedge\vec{PC} et analogues.

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 18:29

mais le signe de w est celui de i

celui de x est celui de j

celui de y est celui de k

celui de z est celui de l

et a,b,c,d sont les aires géométriques des quatre faces du tétraèdre (donc positifs)

vu que

amethyste @ 21-04-2020 à 10:13


w=\dfrac {i}{a}  ,  x=\dfrac {j}{b}  ,  y=\dfrac {k}{c}  ,  z=\dfrac {l}{d}  


et ma démo donne ces trois résultats

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 18:40

dans le même temps je dois me méfier car j'ai pas fait la dernière démo

w+x+y+z toujours non nul

je me suis arr

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 21:32

effectivement j'aurais du me méfier

J'ai un contre exemple où w+x+y+z=0

en plus que de toute façon w+x+y+z n'est pas constant  

Posté par
luzak
re : nom de ce genre de coordonnées 21-04-20 à 23:18

Il était évident que les coordonnées ne peuvent être de même signe. Entre les points intérieurs au tétraèdre et ceux qui ne le sont pas !

Pour pouvoir donner un signe aux distances il faut orienter les normales aux plans des faces. Je te suggère de les orienter de l'intérieur vers l'extérieur.

Du coup les aires des faces ont une valeur algébrique, avec signe de même que les volumes des tétraèdres formés par P et les faces de ABCD.

Si je trouve une solution propre je te mets cela.

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 22-04-20 à 00:03

Bonjour Lusak

Je vais  faire plus attention (j'aurais dû voir que la somme w+x+y+z n'est pas constante et peut même être nul )

j'aurais dû… : c'est pas malin ça

Bon je vais  fumer une clope  (ou deux)

Posté par
luzak
re : nom de ce genre de coordonnées 22-04-20 à 14:17

Ton énoncé est très incomplet et tu aurais pu nous donner exactement les hypothèses choisies.

Parler de repère barycentrique et de coordonnées par rapport à ce repère est très imprécis et on a tendance à penser (mais cela s'avère incorrect )que les coordonnées utilisées sont normalisées, donc de somme 1.

Or la formule que tu veux démontrer (celle concernant le volume algébrique) semble montrer que les coordonnées choisies soient les produits mixtes [\vec{PB},\vec{PC},\vec{PD}] ce qui est impossible à deviner.

Par ailleurs parler de "volume algébrique" suppose un espace et un tétraèdre orientés, ce qui n'est pas non plus mentionné.

...................................................
Commençons par définir une orientation : comme elle ne concerne que l'objet "tétraèdre" on peut simplifier en proposant une orientation valable pour les deux en même temps.

Donc ABCD (dans cet ordre) est un tétraèdre orienté et l'orientation de l'espace est défini par la base (\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}).

Comme il y aura utilisation d'autres tétraèdres( ceux définis par les lettres P et trois autres dans \{A,B,C,D\} et qu'il faut aussi les orienter je donne les orientations convenables et utiles : BCAD,\,CADB,\,DACB. A noter que l'on ne peut prendre l'ordre alphabétique ni une permutation circulaire (essayer par exemple BCDA montre qu'on a l'orientation inverse). La clé (mais on s'en fout) c'est de passer d'un ordre à un autre par permutation paire.

Pourquoi avoir choisi des orientations commençant par les différents sommets ? La fonction P\mapsto[\vec{PB},\vec{PB},\vec{PD}] est continue, et ne peut changer de signe sans s'annuler. Elle prend une valeur positive en A de sorte que ce produit mixte sera positif lorsque A,P sont d'un même côté par rapport à la face BCD.

On aura ainsi un guide sûr pour le signe des divers volumes algébriques qui viennent.

......................
Recherche d'un système de coordonnées barycentriques pour P. Si t_A,t_B,t_C,t_D est un tel système on a t_A\vec{PA}+t_B\vec{PB}+t_C\vec{PC}+t_D\vec{PD}=\vec{0}.

En prenant le produit scalaire avec \vec{PC}_\wedge\vec{PB} il vient t_A[\vec{PA},\vec{PC},\vec{PB}]+t_D[\vec{PD},\vec{PC},\vec{PB}]
On peut alors prendre t_A=[\vec{PB},\vec{PC},\vec{PD}],\;t_D=[\vec{PA},\vec{PC},\vec{PB}] qui sont les volumes algébriques respectifs des tétraèdres orientés PBCD,\;PACB.

De même avec les autres produits vectoriels il vient t_B[\vec{PC},\vec{PA},\vec{PD}],\;t_C=[\vec{PA},\vec{PB},\vec{PD}].

La somme de ces coefficients (intuitivement, pour P intérieur au tétraèdre, ces coefficients sont positifs et la some des volumes est celui du tétraèdre mais il vaut mieux faire le calcul pour les autres cas) est alors [\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]=6\overline{ABCD} (volume algébrique du tétraèdre orienté).
Détail des calculs :
t_A+t_D=[\vec{PB},\vec{PC},\vec{AD}]=[\vec{AB},\vec{PC},\vec{AD}]-[\vec{AP},\vec{PC},\vec{AD}]
                    =[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]-[\vec{AB},\vec{AP},\vec{AD}]-[\vec{AP},\vec{AC},\vec{AD}]=[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]+[\vec{AP},\vec{AD},\vec{BC}]

Et t_B+t_C=[\vec{PA},\vec{PD},\vec{BC}]=[\vec{PA},\vec{AD},\vec{BC}]


Par conséquent il semblerait qu'on retrouve les coefficients i,j,k,l non documentés de l'énoncé.

....................
Calcul utilisant les aires (à vérifier !). En principe il faudrait aussi des aires algébriques mais comme on peut orienter le plan de chaque face pour que ce soit toujours les aires géométriques a,b,cp proposées : il suffira d'orienter convenablement la normale à chaque face.

Plus précisément, |t_A|=6\mathrm{vol}(PBCD)=6\dfrac{a}{3}u_A,\;u_A désignant la hauteur relative à P dans PBCD.

t_A étant positif lorsque P,A sont d'un même côté par rapport à la face BCD il suffira d'orienter la normale à la face de l'intérieur vers l'extérieur du tétraèdre et de corriger le signe de u_A selon le sens de cette normale.

Avec ces nouvelles notations on a donc un nouveau système de coordonnées barycentriques de P à savoir (2au_A,2bu_B,2cu_C,2du_D). A mon avis c'est l'interprétation que je préconise pour tes notations w,\dots : mesure algébrique (selon un sens qui a été précisé) de PP_AP_A est symétrique de P par rapport à la face opposée à A.

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 22-04-20 à 14:23

Bonjour Lusak

Je suis coupable de négligence dans ce que j'ai fait dans ce sujet (je n'ai aucune excuses valables)

Je ne mérite pas de te lire (en tout cas merci mais je ne mérite pas ton effort)

j'ai essayé de te le dire cette nuit (j'ai prétexté d'aller fumer une cigarette)

Je m'en veux de te voir faire cet effort!

merci en tout cas évidemment

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 22-04-20 à 14:38

pour les normalisées on voit souvent cbn comme abrégé mais là c'est cb tout court

bon ceci dit j'ai vraiment fait n'importe quoi …

je ne mérite pas de te lire Lusak  mais je n'ai pas pu m'empêcher et c'est pas bien de ma part car je dois bosser seul (sinon c'est pas bon : tant que ça reste à une demande de nom ça va mais après il faut que je bosse mes maths )

Merci en tout cas Lusak

Posté par Profil amethystere : nom de ce genre de coordonnées 24-04-20 à 11:47

Je viens de voir un truc en géométrie du plan

Merci Lusak (encore une fois mais je ne mérite pas ton effort)

Je retourne en géométrie du plan (comme ici c'est de la géométrie de l'espace je place ce sujet en quarantaine, je le reprendrais dans … je ne sais pas dans combien de temps mais faudrait déjà que je sois moins naze en maths)



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