1992 = 8 * 249 donc il suffit que ce nombre soit écrit avec 249 fois le chiffre 8, c'est le maximum car après il serait plus grand que 1992

8x = 1992
x = 1992/8

Je ne pense pas que se soit aussi simple, le prof nous a dit, pour nous aider, de diviser 8888 par 1992 et qu'avec le résultat on peut déduire quelque chose...
En tout cas merci pour ta réponse 😊

Bonjour,

bof encore un énoncé mal défini.
Il n'y a aucun maximum.

tous les nombres de la forme 8*(10^123k - 1)/9 sont divisibles par 1992 et sont formés que de chiffres 8.

l'exercice consiste sans doute à trouver le nombre de chiffres 8 minimum ...
(qui est donc 123, le prouver)

Toutes mes excuses, je me suis tromper en tapant l'énoncé, il s'agit bien de trouver le minimum de 8 que contient le nombre divisible par 1992...
Toutefois, je ne comprends pas comment tu trouves 123

j'ai fait un programme de 5 lignes qui cherche le plus petit n tel que 10ⁿ 1 modulo (9*1992/8)

le problème est qu'en première on n'a pas vu les congruences...
cette écriture veut dire que 10ⁿ - 1 est un multiple de 9*1992/8

ça tu peux le justifier, en première, pourquoi on cherche ça.

par contre en première on serait tenté de calculer effectivement 10ⁿ - 1
la théorie sur les congruences (en terminale Spé math) permet de se limiter à des calculs de nombres beaucoup plus petits !!
et donc calculables facilement sur machine (voire à la main si on est patient)

Les nombres traités sont < 10*9*1992/8 = 22410, très inférieurs à un nombre formé de 123 chiffres 8 qui, lui, ne rentre pas dans une machine "ordinaire" (il faut un programe spécial pour avoir la valeur exacte de ce nombre)

Je ne pense pas avoir tout compris... Il faut donc que je crée un algorithme ?

Je trouve 124 moi !
Tu es obliger de crée un programme/algorithme
le prof ne vous l'as pas dit?

Non pas du tout, et je t'avoue que je ne m'y connais pas trop en algo..

Bon, avant de créer un programme il faut pas mal penser à ce qu'on va y mettre dans le programme !
parce que un programme qui calcule un nombre avec 120 chiffres et plus et qui vérifie si oui ou non ce nombre est divisible par 1992, eh bien ça ne marche pas. (les nombres de 120 chiffres ne rentrent pas dans une calculette ni sur Algobox etc )
si on fait ça comme ça, le programe effectue des approximations et donne un résultat qui n'a aucun sens.

donc déja la partie "purement math" est importante !
un nombre formé de p chiffres 8, déja la première chose à faire est de transformer ça en une formule réellement utilisable.
je te laisse vérifier que ce nombre est 8 fois le nombre formé de p chiffres 1, et que ce nombre là c'est 1/9 de celui formé de p chiffres 9, qui est lui même 1O^p - 1

nombre formé de p chiffres 8 = (8/9)(10^p - 1)

comme on veut que ce nombre soit multiple de 1992 on écrit (en première) :
(8/9)(10^p - 1) = 1992 k
soit 10^p - 1 = 9249 k = 2241 k

La suite n'est de toute façon plus du programme de première mais de spé maths.
comme 10 et 9249 sont premiers entre eux, le petit théorème de Fermat (version Euler) affirme que

10⁽²²⁴¹⁾ - 1 est divisible par 2241
avec (2241) l'indicateur d'Euler de 2241 (le nombre de nombres < 2241 et premiers avec 2241)
2241 = 3³83 donne (2241) = 1476

mais ceci n'est pas la plus petite valeur de p telle que 10^p - 1 soit divisible par 2241 !
en fait la plus petite valeur de p est un diviseur de (2241)
1476 = 2² 3² 41 possède 18 diviseurs (en comptant 1)
reste à trouver lequel ...
on sait de toute façon ici déja "sans aucun calcul" (ou presque, que des calculs pratiquement à la main) que le nombre formé de 1476 chiffres 8 est divisible par 1992.

reste à trouver un programme (parce que pas vraiment question de le faire à la main) qui teste si 10^p - 1 est ou non divisible par 2241, sans calculer effectivement ces nombres !!

là aussi c'est en dehors du programme de première.
il faut utiliser les congruences et écrire ça

10^p 1 modulo 2241
c'est à dire le reste de la division de 10^p par 2241 est 1
on peut alors calculer
10 10 modulo 2241
10² 100 modulo 2241
10³ 1000 modulo 2241
10⁴ 10000 1036 modulo 2241
10⁶ = 10⁴ 10² 103600 514 modulo 2241
10⁸ = (10⁴)² 1036² = 1073296 2098 modulo 2241
10⁹ 102098 811 modulo 2241
10¹² = 10⁹10³ 8111000 1999 modulo 2241
10¹⁶ = (10⁸)² 2098² = 4401604 280 modulo 2241
10¹⁸ = 10¹⁶10² 280 100 1108 modulo 2241
10³² 280² = 78400 2206 modulo 2241
10³⁶ = (10¹⁸)² 1108² = 1223236 1891 modulo 2241
10⁴⁰ = 10³²10⁸ 2206 2098 = 4628188 523 modulo 2241
10⁴¹ = 1010⁴⁰ 5230 748 modulo 2241
10⁸² = (10⁴¹)² 748² = 559504 1495 modulo 2241
10¹²³ = 10⁸²10⁴¹ 748 1495 = 1118260 1 modulo 2241

bingo

ceci permet d'obtenir les restes de la division par 2241 de tous les 10^p où p est un diviseur de 1476 (en gras les exposants diviseurs de 1476)
à la main (+ calculette ordinaire) pratiquement, juste avec un peu de patience

on peut aussi faire le programme :

N = 10
p = 1 (on part de 10¹)
tant que le reste de la division de N par 2241 est différent de 1
N = 10*N modulo 2241
p = p + 1 (on vient de calculer le reste de la division de 10^p)
afficher p.

sans se poser de question sur son efficacité pour calculer les puissances de 10 "au plus court" (nombre minimum d'opérations), mais plutot "au plus simple"
et sans avoir à ce fouler des calculs à la main précédents.

et on trouve bien 10¹²³ 1 modulo 2241
et 123 est donc le plus petit exposant qui convienne, c'est à dire le nombre de 8 du nombre cherché.

(nota : on vérifie que 123 est un diviseur de 1476 = 12123, contrairement à 124,
124 est donc "visiblement" faux.)

Je t'avoue ne pas tout comprendre de ta démonstration... Mais merci pour ton aide!