Niveau première

nombre d or

Posté par
nomis 05-05-06 à 22:28

Bonjour,
je suis en première S et je n'arrive pas à démontrer que :
Cos /5 = (1 + 5)/4
Merc!

Posté par nombre d or 06-05-06 à 01:47

Bonsoir.
En première, ne disposant pas des nombre complexes, tu dois d'abord exprimer cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x) avec, par exemple les formules cos(a+b) et sin(a+b).
$2$\textrm cos(3x) = 4cos^3x - 3cos(x) et sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)$ .
Ensuite, calcule cos(5x) = cos(3x + 2x) = ...
Tu trouveras $2$\textrm cos(5x) = 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x)$ .
Ensuite, si tu remplaces x par $2$\textrm \frac{\pi}{10}$ , cos(5x) = 0, donc,
cos( $2$\textrm \frac{\pi}{10}$ ) est solution de : $2$\textrm 16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x) = 0$ . Tu peux la transformer en : $2$\textrm X(16X^4 - 20X^2+ 5) = 0$ .
Tu résouds cette équation et tu trouves que cos $2$\textrm \frac{\pi}{10} = \frac{\sqrt{10 + \sqrt{20}}}{4}$ . Enfin, comme cos(2x) = 2cos²(x) - 1, tu trouveras ce que tu cherches.
Cordialement RR.
Remarque : le nombre d'or est : $4$\textrm \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

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