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Nombre d'or et Fibonacci

Posté par
Enzo121214
20-11-19 à 13:06

Bonjour tout le monde je travail sur un dm de mathématiques que jai à rendre pour demain malheureusement je ne comprend vraiment rien pourrier vous maider svp
Voici l'énoncer (les v sont des racines carré):

on considère la suite (Un) définie par Uo = U1 = 1 , et pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
Un= Un-1+Un-2
on pose
(phi) = (1+v5) / 2
1.Vérifiez que (phi)^2 = (phi) +1
2.En déduire une expression de (phi)^3 , (phi)^4 ,(phi)^5 de la forme a(phi)+b , avec a et b deux entiers .
3. déduire des deux questions précédentes : une conjecture sur l'expression de (phi)^n sous la forme a(phi) + b
Démontrez alors que cette conjecture avec n entier naturel quelconque.

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 13:44

Bonjour

Qu'avez-vous effectué ? que donne l'élévation au carré ?

Posté par
fm_31
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 13:45

Bonjour ,
ce n'est que du calcul assez simple il me semble .
² = ((1+5) / 2 )² = ....
Cordialement

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:12

Merci de vos réponses
Je trouve
Phi^2=(3+v5)/2
Phi^2=((1+v5)/2)+1
Donc on retrouve bien l'expression de départ pour la question 2
Phi^3=2phi+1
Phi^4=3phi+2
Mais je narrive pas à phi^5

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:19

Vous faites la même chose que précédemment

\phi^5=\phi^4\times \phi

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:27

Lorsque je fait
Phi^4*phi
=phi^2*phi^2*phi
=phi^2+2phi+1*phi
=3phi+2*phi
=5phi
Mais je pense que le résultat est faux

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:32

\phi^5=\phi^4\times \phi= (3\phi+2)\times \phi  et on remplace \phi^2

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:46

Je trouve donc 5phi+3
Par contre je ne voit pas quelle conjecture je peut faire

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:50

Quel est le coefficient de \phi pour quel exposant ?

0=2-2 \quad;\  1=3-2 \quad;\  2=4-2 \quad;\  3=5-2

Posté par
ty59847
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 14:52

Dans l'énoncé, on parle de la cuite de Fibonacci ; dans cette suite, chaque terme est égal à la somme des 2 précédents.

Que peux-tu dire de \phi^5 ?

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:31

Donc sa nous fait phi^n=phi n-1+phi n-2?

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:32

Et si ma reponse est bonne, pour le demontrer comment je doit faire ?

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:32

Non  Voir 14 :50

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:46

Je doit juste renplacer le n pas exemple pas 5 resoudre le calcul et dire que les resultat sont les même ?

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:47

Cest pas phi^n=phi^n-1+phi^n-2

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:56

\phi^5= \phi^4+\phi^3=3\phi+2+2\phi+1=5\phi+3

C'est donc une conjecture possible  mais elle n'est pas de la forme demandée.

Citation :
une conjecture sur l'expression de (phi)^n sous la forme a(phi) + b

Posté par
flight
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 15:59

salut

en calculant  

²=1.+1
3=2+1
4=3+2

en utilisant   Un+2= Un+1+Un   tu vois rien qui te saute aux yeux ?

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:15

Sa serait
Phi^n=un-1*phi+un-2

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:19

Par exemple

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:25

Et quest ce que je doit faire pour repondre a la fin de la 3eme question à savoir
Démontrez alors que cette conjecture avec n entier naturel quelconque.

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:30

Démontrer que  \phi^{n+1}=u_n\phi +u_{n-1}

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:36

Lors de l'initiation pour l'hérédité je doit marquer quoi?

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:42

\phi^2=u_1\phi+u_0

on suppose vrai au rang n, \phi^n=u_{n-1}\phi +u_{n-2} et on montre que c'est vrai au rang n+1

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:51

Dans l'initialisation jai verifier phi^2=u1*phi+u0
Puis jai admis que phi^n=un-1*phi+un-2 pour tout rang n
Puis jai fait les calculs suivant pour retrouver phi^n à partir de phi^n+1


* Sylvieg > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:52

Est-ce gênant que je soit partit de phi^n+1 pour aller a phi^n?

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:56

Oui  car vous ne pourrez dire que c'est vrai pour tout n

Posté par
flight
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:57

re.... sinon avec  

n =an.+bn
n+1 =.(an.+bn)=
(an+bn).+an = aussi à:   an+1.+bn+1

alors  an+1=an + bn
             bn+1=an

le premiers termes de an  sont  a1=1   et a2=1  an suit le meme comportant queUn

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 16:59

Ha est bien alors je ne sais pas comment faire pour passer de phi^n à phi^n+1

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 17:06

En multipliant par \phi

\phi^{n+1}=u_{n-1}\phi^2+u_{n-2}\phi=u_{n-1}(\phi+1)+u_{n-2}\phi
Effectuez

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 17:16

Sa me donne un-1*phi+un-1+un-2phi
Et jsp quoi faire après

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 17:22

Une mise en facteur peut-être ?

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 17:27

De cette maniere?
Phi(un-1+(un-1/2)+un-2)

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 17:35

Non

Il ne faut pas perdre de vue ce que vous voulez montrer

\phi^{n+1}=u_{n-1}\phi^2+u_{n-2}\phi=u_{n-1}(\phi+1)+u_{n-2}\phi=u_{n-1}\phi +u_{n-1}+u_{n-2}\phi=(u_{n-1}+u_{n-2})\phi+u_{n-1}

À quoi est égal le contenu de la parenthèse ?

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 17:51

Dans la parenthèse ça vaut Un donc on trouve bien la formule de phi^n+1

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 18:03

évidemment  respectez la casse u \not= U

Il reste donc à conclure

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 18:24

Apres avoir ecrit mes calcul
En conclusion je met : par récurrence, on a montrer que phi^n=un-1*phi+un-2 est vrai au rang 3 et qu'elle est héréditaire donc la propriété est vraie pour tout n

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 18:36

On devrait commencer à 2    

À la fin de l'exposé de la récurrence, on devrait avoir Pour tout n\in\N\quad \phi^n=u_{n-1}\phi+u_{n-2}

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 18:44

par récurrence, on a montrer que phi^n=un-1*phi+un-2 est vrai au rang 2 et qu'elle est héréditaire donc pour tout n   Phi^n=un-1*phi+un-2

Posté par
hekla
re : Nombre d'or et Fibonacci 20-11-19 à 18:48

Vous rédigez comme vous avez l'habitude

Posté par
Enzo121214
re : Nombre d'or et Fibonacci 21-11-19 à 07:53

Merci pour tout



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