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Nombre d'or et suite de Fibonacci

Posté par
oliii
08-09-13 à 15:22

Bonjour à tous, j'ai un exercice à rendre mais je n'ai pas trop compris comment démontrer alors j'ai besoin de vos aides :

Les nombres de Fibonacci sont définis par : a0=1, a1=1, et pour tout entier naturel n, an+2=an+1+an.

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, an1.
On pose pour tout entier naturel n, un=an+1/an.

2) Démontrer que la suite u est telle que: u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1= 1 + 1/un.

3) Démontrer que si la suite u converge, alors elle converge vers le nombre d'or .

4)a) Démontrer que pour tout entier naturel n :

un+1-= (-un)/un.

En déduire que |un+1-|1/|un-|.

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

|un-|(1/)n|1-|

c) En déduire que la suite u converge vers .

Merci d'avance

Posté par
Boss_maths
re : Nombre d'or et suite de Fibonacci 08-09-13 à 15:56

Bonjour,

Tu trouveras beaucoup de sujets sur ce thème, sur le forum du lycée, en faisant une recherche avec Fibonacci !

Courage

Posté par
oliii
re : Nombre d'or et suite de Fibonacci 08-09-13 à 16:00

n'auriez vous pas des liens ?

Posté par
oliii
re : Nombre d'or et suite de Fibonacci 08-09-13 à 16:03

pouvez vous m'aider au moins pour le commencement ???

Posté par
Manga2
re : Nombre d'or et suite de Fibonacci 08-09-13 à 16:03

Bonjour,

1) Démontre que la suite est croissante. Une fois fait, elle est toujours plus grande que son premier terme.

2) Calcules u0 par un=an+1/an. Ensuite, commence par  1 + 1/un, remplaces et joue avec les équations pour tomber sur an+2/an+1=un+1. Sinon récurrence.

3) Un théorème concernant les suites (il y'en a pleins qui portent le même nom):

Citation :
Théorème du point fixe — Si u est une suite numérique réelle convergente définie par récurrence par son premier terme et la relation u_{n+1}=f(u_{n}), où f est une fonction continue, alors la limite \ell de u est un point fixe de f. C'est-à-dire : \ell vérifie f(\ell)=\ell ou f(\ell)-\ell =0.


4)a) Récurrence.

Pour info: \phi^2=\phi +1 et \dfrac{1}{\phi}=\phi -1

b)Récurrence.

c) Théorème des gendarmes.

Bonne recherche!

Posté par
Manga2
re : Nombre d'or et suite de Fibonacci 08-09-13 à 16:06

Le nombre d'or est: \phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}



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