Bonjour
Le but de cette problème est de déterminer le nombre de "0" que comporte n! à la fin de son écriture décimale. Par exemple 5!=120 et donc on a un seul "0" à la fin de son écriture décimale.
1) Montrer que si la décomposition d'un entier a en facteurs premiers est
a=2^a1*5^a2*7^a3..... Alors a finit exactement par a1 ou a2 "0" dans la base
décimale.
2) Soit n un entier naturel non nul.
On pose q0 le quotient de la division euclidienne de n par 5.
a) Montrer que n!= 5^q0(q0!).k ; avec k dans IN tel que pgcd(k,5)=1.
b) Soit q1 le quotient de la division euclidienne de q0 par 5.
Montrer que n!= 5^(q0+q1)(q1!).k1 ; avec k1dans IN et pgcd(k1,5)=1.
c) Expliquer pourquoi le nombre de "0" de n! en base 10 est égal à
q0+q1+(nombre de "0" dans q1!).
3) On définit ainsi une suite réelle définie sur IN par:
q0=Le quotient de la division euclidienne de n par 5.
qk+1= Le quotient de la division euclidienne de qk par 5.
a) Montrer qu'il existe no dans IN tel que pour tout qk>=no on a :qk=0.
b) En déduire que le nombre de "0" en base 10 de n! est égal à
q0 +q1 +………+qn0 .
4) Application:
*Dans 1991! Le nombre de "0" à la fin de son écriture décimale est 495.
*Dans 2009! Le nombre de "0" à la fin de son écriture décimale est 500.
Réponse :
1) facile normalement on prend inf(a1,a2) on a alors on obtient 10^(infa1,a2)
2) j'ai essayé avec récurrence sur mais je ne trouve rien qui peut m'aider SVP merci
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