Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

nombre de 0 dans n!

Posté par
kikoking41
19-05-15 à 15:33

Bonjour
Le but de cette problème est de déterminer le nombre de "0" que comporte n! à la fin de son écriture décimale. Par exemple 5!=120 et donc on a un seul "0" à la fin de son écriture décimale.
1) Montrer que si la décomposition d'un entier a en facteurs premiers est
    a=2^a1*5^a2*7^a3.....  Alors a finit exactement par a1 ou a2  "0" dans la base  
    décimale.
2) Soit n un entier naturel non nul.
    On pose q0 le quotient de la division euclidienne de n par 5.
     a) Montrer que n!= 5^q0(q0!).k ; avec k dans IN tel que pgcd(k,5)=1.
     b) Soit q1 le quotient de la division euclidienne de q0 par 5.
          Montrer que n!=  5^(q0+q1)(q1!).k1 ; avec k1dans IN et pgcd(k1,5)=1.
     c) Expliquer pourquoi le nombre de "0" de n! en base 10 est égal à
          q0+q1+(nombre de "0" dans  q1!).
3) On définit ainsi une suite réelle   définie sur IN par:
     q0=Le quotient de la division euclidienne de n par 5.
     qk+1= Le quotient de la division euclidienne de qk  par 5.
     a) Montrer qu'il existe no dans IN tel que pour tout qk>=no on a :qk=0.
     b) En déduire que le nombre de "0" en base 10 de n! est égal à
        q0 +q1 +………+qn0 .
4) Application:
*Dans 1991! Le nombre de "0" à la fin de son écriture décimale est 495.
*Dans 2009! Le nombre de "0" à la fin de son écriture décimale est 500.
Réponse :
1) facile normalement on prend inf(a1,a2) on a alors on obtient 10^(infa1,a2)
2) j'ai essayé avec récurrence sur mais je ne trouve rien qui peut m'aider SVP merci

Posté par
Frisco
re : nombre de 0 dans n! 19-05-15 à 15:37

Bonjour,

As-tu fait la 2)a)?

Posté par
kikoking41
re : nombre de 0 dans n! 20-05-15 à 01:49

Non.
j'ai utilisé le résonnement par récurrence qui ne m'a rien donné.

Posté par
Frisco
re : nombre de 0 dans n! 20-05-15 à 11:50

Comment peux-tu écrire n?

Posté par
kikoking41
re : nombre de 0 dans n! 21-05-15 à 23:59

désolé  je ne comprend pas

Posté par
Frisco
re : nombre de 0 dans n! 22-05-15 à 08:28

Comment peux-tu écrire n avec q0?

Posté par
alb12
re : nombre de 0 dans n! 22-05-15 à 18:53

Tout ce binz ! pour compter le nombre de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de n! ... La rigueur a des limites ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !