Niveau Maths sup

Nombre de générateurs de Z/nZ.

Posté par
1 Schumi 1 14-10-07 à 09:03

Bonjour à tous,

Juste pour un exo que j'ai fait mais dont je n'ai pas la correction. Voici l'énoncé:

Citation :

On considère le groupe additif $\rm\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $\rm n\ge 2$ ). On note $\rm\bar{a}$ la classe modulo $\rm n\mathbb{Z}$ de l'élément a de $\rm\mathbb{Z}$ ( $\rm 0<a\le n$ ). $\rm\bar{a}$ est générateur de $\rm\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si a et n sont premiers entre eux. On note $\rm\phi(n)$ le nombre de générateurs de $\rm\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

a) Calculer $\rm\phi(p)$ pour p premier, puis $\rm\phi(p^\alpha)$ , ( $\rm\alpha\in\mathbb{N}-\{0\}$ ).
b) Montrer que si m et n sont premiers entre eux, $\rm\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$ . (Considérer le groupe produit $\rm(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ ).
c) En déduire que si n a une décomposition en facteurs premiers de la forme $\rm n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$ , alors $\rm\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})...(1-\frac{1}{p_k})$ .

Voici ce que j'ai fait.
a) $\rm\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ possède p-1 générateurs puisque tous les nombres de 1 à p-1 sont premiers avec p (si si, je vous assure, c'est vrai

). Et je trouve que $\rm\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z}$ en possède $\rm p^\alpha-p^{\alpha-1}$ .

b) Avec l'indication c'est facile. m et n étant premier entre eux, le groupe produit $\rm(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est isomorphe à $\rm\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ . Ils possèdent donc tous deux le même nombre de générateurs parce que sinon on aurait l'air malin ^^. Il vient donc que $\rm\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$ .

c) Evident d'après ce qui précède, mais j'ai fait une récurrence simple.

Est ce que c'est bon? Toutes les critiques sont les bienvenues, ce ne sont que mes débuts en algèbre générale et je veux commencer sur de bonnes bases.

Ayoub.

Posté par re : Nombre de générateurs de Z/nZ. 14-10-07 à 09:43

Peut-être pourrais -tu indiquer ta preuve de l'isomorphisme ? (c'est la principale difficulté de l'exo).

Posté par re : Nombre de générateurs de Z/nZ. 15-10-07 à 17:25

Salut lolo217,

C'est un résultat du cours. Il est donné en tant que corollaire.

Posté par re : Nombre de générateurs de Z/nZ. 19-10-07 à 15:24

lolo, ca depend de ton nivaux en algèbre, mais la plus court c'est ca doit etre ca :

les projections canonique de Z->Z/nZ et Z->Z/mZ sont des morphsimes d'algèbre. leurs produit et donc un morphisme f:Z->(Z/nZ * Z/mZ) (produit directe)

(NB, f est l'application qui a x associe classe de x dans Z/mZ et classe de x dans Z/nZ)

on cherche le noyaux de f, soit x tq f(x)=0 c'est équivalent a m|x et n|x, ie a ppcm(m,n)=mn (car m et n sont premier entre eux) divise x.

or comme toujours, f induit un isomorphsime de Z/ker f dans Im f.

Z/ker f = Z/mnZ, qui contiens nm element, et Im f est inclu dans Z/nZ*Z/mZ et a mn element (car f est une bijection) donc Imf = Z/nZ*Z/mZ

d'ou le résultat.

Posté par re : Nombre de générateurs de Z/nZ. 19-10-07 à 16:34

merci je sais faire ...il s'agissait de voir si Schumi avait bien rédigé .

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