Bon, j'ai posté trop rapidement... j'ai trouvé une réponse (que je vais partager pour ne pas laisser ce sujet sans réponse)

Si on se donne un corps, on peut montrer que sous-groupe fini de de cardinal , , si on note le nombre d'éléments de G d'ordre et l'indicatrice d', alors .
En effet: (propriété de l'indicatrice) et (partition de G selon les ordres)
Or , :
soit un élément d'ordre (s'il n'y en a pas est évident); engendre un sous-groupe de cyclique de cardinal . et possède au plus racines comme est un corps. Donc
Or, ; Les éléments de G d'ordre sont donc également des éléments d'ordre de H, qui, étant cyclique de cardinal est isomorphe à qui possède générateurs. Par inégalité des cardinaux, il vient l'inégalité énoncée plus haut.
Finalement: , et les sont positifs: ils sont donc tous nuls.

Conclusion: il y a racines -ièmes de l'unité d'ordre (lorsque évidemment)(si je ne dis pas de bêtises...)
Il y a peut-être plus simple cependant

Ca ne me paraît pas correct.

Si ,, et donc, peu importe la valeur de n, on aurait systématiquement 1 racine n-ième d'ordre 1.

Et d'ailleurs, au tout dernier moment, tu as constaté qu'il y avait un loup, et qu'il fallait ajouter la condition :  quand d divise n.

Je ne suis pas familier avec cette fonction , mais je chercherais du coté de

En particulier, si d=1 et n=10 par exemple ...

Bonjour ty59847 et merci d'avoir pris le temps de répondre
- Je pense avoir pris mes précautions: il ne sert à rien de chercher des éléments d'ordre ne divisant pas le cardinal, il n'y en a pas ( si ) ;
- ta seconde phrase n'est pas en accord avec ce que je dis: effectivement mais cela signifie qu'il y a une racine 2-ième de l'unité dès lors que n est pair (ce qui est vrai) (pour rappel on définit comme ) et il y a bien une unique racine d'ordre 1 quelque soit n (c'est 1).

Désolé.

L'ordre d'une racine, c'est le plus petit exposant k tel que ... Dans ma tête, c'était le nombre de fois où on retombait sur 1 dans la liste des nombres ... !

De façon plus simple :
Je me place dans Z/nZ


1) Pour d diviseur de Z/nZ, il existe un unique groupe d'ordre d.


Je pose et je me mets en forme multiplicative. De plus j'écris

Existence : Je prends le groupe engendré par

Unicité : Soit un groupe d'ordre inclus dans .

Soit . Alors . Or est d'ordre donc divise
et
Donc

Ainsi et par égalité des cardinaux...



2) Soit un élément d'ordre dans

Alors est générateur de l'unique groupe d'ordre de , c'est à dire . Ce groupe est cyclique d'ordre donc il admet exactement générateurs

*il existe un unique sous groupe de Z/nZ d'ordre d

Bonjour lionel52, merci pour cette réponse, effectivement c'est plus simple!
Pas de problème ty59847