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nombre premier
voila je bloque sur une question de mon exercice de spé et j'aurais besoin d'un petit coup de main. Voici l'énoncé :
soient p une nombre entier et 
un entier naturel non nul. Soit q un entier tel que 1
qp. démontrer que PGCD (q;p)
1
p divise q. En déduire que 
(p)=p-p-1, sachant que est la fonction qui à tout entier naturel non nul n associe le nombre (n) d'entiers naturels inférieurs à n et premier avec n.
Merci pour votre aide
j'ai vraiment besoin d'aide svp.j'arrive pas à finir l'exo à cause de cette question
ouai je me sui planté c soit p un nombre premier excuse
Alors c'est parti:
p premier. q entier tel que:
PGCD(q;p)1p divise q.
En deux temps:
p divise q 
un entier a tel que q = a*p
D'où PGCD(q;p) = PGCD(a*p;p)
D'où PGCD(q;p)1
Si PGCD(q;p)1, cela veut dire que q et p ne sont pas premiers entre eux. Cela implique qu'ils ont dans leurs décompositions en facteurs premiers un élément en commun. p étant premier, cela entraîne que q possède forcément l'élément p dans sa décomposition et donc que p/q.
(p) c'est le nombre d'entiers inférieurs à p et premiers avec p. En d'autres termes, (p) c'est le nombre d'entiers inférieurs à p - le nombre d'entiers inférieurs à p et non premiers avec p.
Or le nombre d'entiers inférieurs à p est égal à p
p étant premier, l'ensemble des entiers inférieurs à p et non premiers avec p sont les puissances successives de p. Elles sont au nombre de p/p = p-1
J'espère avoir été clair...
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